Odczytywanie własności funkcji z wykresu na maturze podstawowej

Umiejętność odczytywania własności funkcji z wykresu to jedna z kluczowych kompetencji sprawdzanych na maturze podstawowej z matematyki. W tym artykule omówimy, jak analizować wykresy funkcji, aby określić ich najważniejsze cechy, takie jak dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, wartość najmniejsza i największa oraz parzystość. Pokażemy również, jak rozwiązywać typowe zadania maturalne dotyczące tej tematyki.

Spis treści

• Podstawowe pojęcia
• Dziedzina funkcji
• Zbiór wartości funkcji
• Miejsca zerowe funkcji
• Monotoniczność funkcji
• Wartość najmniejsza i największa
• Parzystość i nieparzystość funkcji
• Przykładowe zadania maturalne
• Wskazówki i typowe pułapki

Podstawowe pojęcia

Funkcja \(f: X \rightarrow Y\) to przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru \(X\) (dziedziny) przypisuje dokładnie jeden element ze zbioru \(Y\) (przeciwdziedziny). Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych \((x, f(x))\), gdzie \(x\) należy do dziedziny funkcji.

Na maturze podstawowej najczęściej spotykamy się z funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej, czyli takimi, gdzie zarówno dziedzina, jak i przeciwdziedzina są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych.

Dziedzina funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Na wykresie funkcji dziedzinę odczytujemy jako zbiór wszystkich wartości \(x\), dla których istnieje punkt \((x, f(x))\) należący do wykresu.

Aby odczytać dziedzinę funkcji z wykresu:

1. Rzutujemy wszystkie punkty wykresu na oś \(OX\)
2. Określamy przedział lub zbiór wartości \(x\), dla których wykres istnieje

Przykład: Jeśli wykres funkcji to półokrąg o środku w punkcie \((0,0)\) i promieniu 2, to dziedzina tej funkcji to przedział \([-2, 2]\).

Na maturze podstawowej często spotykamy następujące przypadki:

• Funkcja określona na całej osi liczbowej: dziedzina to \(\mathbb{R}\) (wszystkie liczby rzeczywiste)
• Funkcja określona na przedziale: np. \([a, b]\), \((a, b)\), \([a, b)\), \((a, +\infty)\)
• Funkcja określona na sumie przedziałów: np. \((-\infty, a) \cup (b, +\infty)\)

Zbiór wartości funkcji

Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich \(y\), które funkcja przyjmuje. Na wykresie funkcji zbiór wartości odczytujemy jako zbiór wszystkich rzędnych punktów należących do wykresu.

Aby odczytać zbiór wartości funkcji z wykresu:

1. Rzutujemy wszystkie punkty wykresu na oś \(OY\)
2. Określamy przedział lub zbiór wartości \(y\), które funkcja przyjmuje

Przykład: Dla funkcji \(f(x) = x^2\), której wykres to parabola o wierzchołku w punkcie \((0,0)\), zbiór wartości to \([0, +\infty)\).

Miejsca zerowe funkcji

Miejsca zerowe funkcji to argumenty \(x\), dla których \(f(x) = 0\). Na wykresie funkcji miejsca zerowe to punkty przecięcia wykresu z osią \(OX\).

Aby odczytać miejsca zerowe funkcji z wykresu:

1. Znajdź punkty, w których wykres przecina oś \(OX\)
2. Odczytaj współrzędne \(x\) tych punktów

Przykład: Dla funkcji \(f(x) = x^2 – 4\) miejsca zerowe to \(x = -2\) i \(x = 2\), co odpowiada punktom \((-2, 0)\) i \((2, 0)\) na wykresie.

Warto pamiętać, że funkcja może mieć:

• Brak miejsc zerowych (wykres nie przecina osi \(OX\))
• Jedno miejsce zerowe (wykres styka się z osią \(OX\) lub przecina ją w jednym punkcie)
• Wiele miejsc zerowych (wykres przecina oś \(OX\) w wielu punktach)

Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji określa, czy funkcja rośnie, maleje, czy pozostaje stała na danym przedziale.

Funkcja jest:

• Rosnąca na przedziale \((a, b)\), jeśli dla dowolnych \(x_1, x_2 \in (a, b)\), takich że \(x_1 < x_2\), zachodzi \(f(x_1) < f(x_2)\)
• Malejąca na przedziale \((a, b)\), jeśli dla dowolnych \(x_1, x_2 \in (a, b)\), takich że \(x_1 < x_2\), zachodzi \(f(x_1) > f(x_2)\)
• Stała na przedziale \((a, b)\), jeśli dla dowolnych \(x_1, x_2 \in (a, b)\) zachodzi \(f(x_1) = f(x_2)\)

Aby odczytać monotoniczność funkcji z wykresu:

1. Przeanalizuj wykres od lewej do prawej strony
2. Określ przedziały, na których wykres „idzie w górę” (funkcja rosnąca), „idzie w dół” (funkcja malejąca) lub jest poziomy (funkcja stała)

Przykład: Dla funkcji \(f(x) = x^3 – 3x\) można określić, że jest ona:

• Rosnąca na przedziałach \((-\infty, -1)\) i \((1, +\infty)\)
• Malejąca na przedziale \((-1, 1)\)

Wartość najmniejsza i największa

Wartość najmniejsza (minimum) funkcji to najmniejsza wartość, jaką funkcja przyjmuje w swojej dziedzinie. Wartość największa (maksimum) to największa wartość, jaką funkcja przyjmuje w swojej dziedzinie.

Aby odczytać wartość najmniejszą i największą funkcji z wykresu:

1. Znajdź najniższy punkt wykresu (minimum) i odczytaj jego współrzędną \(y\)
2. Znajdź najwyższy punkt wykresu (maksimum) i odczytaj jego współrzędną \(y\)

Należy pamiętać, że:

• Funkcja może nie mieć wartości najmniejszej lub największej (np. funkcja \(f(x) = x\) na przedziale \(\mathbb{R}\))
• Funkcja może mieć wiele punktów, w których przyjmuje wartość minimalną lub maksymalną (np. funkcja \(f(x) = \sin(x)\))
• Minimum lokalne to punkt, w którym funkcja przyjmuje wartość mniejszą niż w punktach sąsiednich, ale niekoniecznie najmniejszą w całej dziedzinie
• Maksimum lokalne to punkt, w którym funkcja przyjmuje wartość większą niż w punktach sąsiednich, ale niekoniecznie największą w całej dziedzinie

Przykład: Dla funkcji \(f(x) = x^2 – 4x + 3\) na przedziale \([0, 5]\):

• Minimum funkcji wynosi \(-1\) i jest osiągane dla \(x = 2\)
• Wartość największa to \(f(5) = 8\)

Parzystość i nieparzystość funkcji

Funkcja jest parzysta, jeśli dla każdego \(x\) z dziedziny spełnia warunek \(f(-x) = f(x)\). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(OY\).

Funkcja jest nieparzysta, jeśli dla każdego \(x\) z dziedziny spełnia warunek \(f(-x) = -f(x)\). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Aby określić parzystość funkcji na podstawie wykresu:

• Sprawdź, czy wykres jest symetryczny względem osi \(OY\) (funkcja parzysta)
• Sprawdź, czy wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych (funkcja nieparzysta)
• Jeśli żaden z powyższych warunków nie jest spełniony, funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta

Przykłady:

• Funkcja \(f(x) = x^2\) jest parzysta
• Funkcja \(f(x) = x^3\) jest nieparzysta
• Funkcja \(f(x) = x^2 + x\) nie jest ani parzysta, ani nieparzysta

Przykładowe zadania maturalne

Zadanie 1. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\). Odczytaj z wykresu:

1. Dziedzinę funkcji
2. Zbiór wartości funkcji
3. Miejsca zerowe funkcji
4. Przedziały monotoniczności
5. Wartość najmniejszą i największą funkcji

Rozwiązanie:

Załóżmy, że wykres funkcji \(f\) to parabola przecinająca oś \(OX\) w punktach \((-2, 0)\) i \((4, 0)\), z wierzchołkiem w punkcie \((1, -9)\).

1. Dziedzina funkcji: \(\mathbb{R}\) (cała oś liczbowa)
2. Zbiór wartości funkcji: \([-9, +\infty)\)
3. Miejsca zerowe funkcji: \(x = -2\) i \(x = 4\)
4. Przedziały monotoniczności: funkcja maleje na przedziale \((-\infty, 1)\) i rośnie na przedziale \((1, +\infty)\)
5. Wartość najmniejsza: \(f(1) = -9\), wartość największa: nie istnieje

Zadanie 2. Na podstawie wykresu funkcji \(f\) określ, które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe:

1. Funkcja \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych
2. Funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne
3. Funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe
4. Funkcja \(f\) jest rosnąca na całej swojej dziedzinie
5. Funkcja \(f\) jest parzysta

Rozwiązanie:

Załóżmy, że wykres funkcji \(f\) to wykres funkcji \(f(x) = |x| – 2\).

1. Prawda – dziedzina to \(\mathbb{R}\)
2. Prawda – funkcja przyjmuje wartości ujemne dla \(x \in (-2, 2)\)
3. Prawda – miejsca zerowe to \(x = -2\) i \(x = 2\)
4. Fałsz – funkcja maleje na przedziale \((-\infty, 0)\) i rośnie na przedziale \((0, +\infty)\)
5. Prawda – wykres jest symetryczny względem osi \(OY\)

Wskazówki i typowe pułapki

Wskazówki:

• Zawsze zwracaj uwagę na skalę osi – nieprawidłowe odczytanie skali może prowadzić do błędnych wniosków
• Sprawdź, czy wykres jest kompletny – czasami funkcja może być określona tylko na pewnym przedziale
• Przy określaniu monotoniczności pamiętaj, że funkcja może być stała na pewnych przedziałach
• Przy określaniu miejsc zerowych zwróć uwagę, czy wykres przecina oś \(OX\), czy tylko jej dotyka
• Przy określaniu zbioru wartości upewnij się, czy funkcja ma wartość największą/najmniejszą

Typowe pułapki:

• Mylenie dziedziny funkcji ze zbiorem wartości
• Nieprawidłowe określenie przedziałów monotoniczności
• Przeoczenie miejsc zerowych funkcji
• Błędne określenie wartości najmniejszej/największej funkcji
• Nieprawidłowa interpretacja parzystości/nieparzystości funkcji

Podsumowanie

Umiejętność odczytywania własności funkcji z wykresu jest kluczowa na maturze podstawowej z matematyki. Pamiętaj o systematycznym podejściu:

1. Określ dziedzinę funkcji
2. Określ zbiór wartości funkcji
3. Znajdź miejsca zerowe
4. Określ przedziały monotoniczności
5. Znajdź wartość najmniejszą i największą
6. Sprawdź parzystość/nieparzystość funkcji

Regularne ćwiczenie analizy wykresów funkcji pozwoli Ci nabyć intuicję i pewność siebie w rozwiązywaniu zadań maturalnych. Pamiętaj, że często to właśnie umiejętność „czytania” wykresu, a nie skomplikowane obliczenia, jest kluczem do poprawnego rozwiązania zadania.