Funkcje trygonometryczne: Sinus, Cosinus i Tangens dla kątów 30, 45 i 60 stopni

Funkcje trygonometryczne są fundamentalnymi narzędziami w matematyce, fizyce i inżynierii. Szczególnie ważne są wartości tych funkcji dla tzw. kątów specjalnych: 30°, 45° i 60°. W tym artykule omówimy dokładnie, jak obliczyć wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla tych kątów oraz przedstawimy praktyczne zastosowania tej wiedzy.

Czym są funkcje trygonometryczne?

Funkcje trygonometryczne to relacje między kątami a bokami trójkąta prostokątnego. Trzy podstawowe funkcje to:

• Sinus (sin) – stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przeciwległej
• Cosinus (cos) – stosunek długości przyległej do długości przeciwprostokątnej
• Tangens (tg) – stosunek sinusa do cosinusa (lub przeciwprostokątnej do przyległej)

Matematycznie można je zapisać jako:

\[ \sin \alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} \]

\[ \cos \alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} \]

\[ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}} \]

Dlaczego kąty 30°, 45° i 60° są specjalne?

Kąty 30°, 45° i 60° nazywamy „specjalnymi”, ponieważ ich wartości funkcji trygonometrycznych można wyrazić dokładnie za pomocą pierwiastków, bez przybliżeń. Wynikają one z właściwości trójkątów szczególnych:

• Trójkąt o kątach 30°-60°-90° (połowa trójkąta równobocznego)
• Trójkąt o kątach 45°-45°-90° (trójkąt równoramienny prostokątny)

Wyprowadzenie wartości dla kąta 30°

Aby znaleźć wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta 30°, rozważmy trójkąt równoboczny o boku 2 jednostki. Jeśli poprowadzimy wysokość z jednego wierzchołka, otrzymamy dwa trójkąty prostokątne, każdy z kątem 30° przy podstawie.

W takim trójkącie prostokątnym:

• Przeciwprostokątna = 2 (bok trójkąta równobocznego)
• Przyległa = 1 (połowa podstawy)
• Przeciwległa = \( h = \sqrt{3} \) (wysokość obliczona z twierdzenia Pitagorasa)

Zatem:

\[ \sin 30° = \frac{1}{2} = 0,5 \]

\[ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 \]

\[ \tg 30° = \frac{\sin 30°}{\cos 30°} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577 \]

Wyprowadzenie wartości dla kąta 45°

Dla kąta 45° wykorzystujemy trójkąt równoramienny prostokątny. Jeśli przyjmiemy, że przyprostokątne mają długość 1, to z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna będzie miała długość \( \sqrt{2} \).

W takim trójkącie:

• Przeciwprostokątna = \( \sqrt{2} \)
• Przyległa = Przeciwległa = 1 (trójkąt jest równoramienny)

Zatem:

\[ \sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 \]

\[ \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707 \]

\[ \tg 45° = \frac{\sin 45°}{\cos 45°} = \frac{1}{1} = 1 \]

Wyprowadzenie wartości dla kąta 60°

Dla kąta 60° ponownie używamy trójkąta 30°-60°-90°, ale teraz rozważamy kąt 60° zamiast 30°. W tym samym trójkącie:

• Przeciwprostokątna = 2
• Przyległa (przy kącie 60°) = 1
• Przeciwległa (przy kącie 60°) = \( \sqrt{3} \)

Zatem:

\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 \]

\[ \cos 60° = \frac{1}{2} = 0,5 \]

\[ \tg 60° = \frac{\sin 60°}{\cos 60°} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \approx 1,732 \]

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Cotangens (ctg) dla kątów 30°, 45° i 60°

Cotangens (ctg) to odwrotność tangensa. Można go obliczyć jako stosunek cosinusa do sinusa:

\[ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Dla naszych kątów specjalnych:

\[ \text{ctg } 30° = \frac{1}{\text{tg } 30°} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3} \approx 1,732 \]

\[ \text{ctg } 45° = \frac{1}{\text{tg } 45°} = \frac{1}{1} = 1 \]

\[ \text{ctg } 60° = \frac{1}{\text{tg } 60°} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577 \]

Praktyczne zastosowania

Znajomość dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° jest niezwykle przydatna w wielu dziedzinach:

1. Geometria: Obliczanie boków i kątów w trójkątach
2. Fizyka: Rozkładanie wektorów sił, analiza ruchu ciał
3. Inżynieria: Projektowanie konstrukcji, obliczenia statyczne
4. Nawigacja: Wyznaczanie kierunków i odległości

Przykład praktyczny: Obliczanie wysokości

Załóżmy, że stoisz w odległości 20 metrów od wieży i kąt, pod jakim widzisz jej szczyt, wynosi 30°. Jak wysoka jest wieża?

Możemy użyć tangensa kąta 30°:

\[ \tg 30° = \frac{\text{wysokość wieży}}{\text{odległość}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{wysokość wieży}}{20 \text{ m}} \]

\[ \text{wysokość wieży} = 20 \text{ m} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 11,55 \text{ m} \]

Wzory redukcyjne dla kątów

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° są również pomocne przy korzystaniu z tzw. wzorów redukcyjnych, które pozwalają obliczyć wartości funkcji dla kątów większych niż 90° lub ujemnych.

Podstawowe wzory redukcyjne:

\[ \sin(90° – \alpha) = \cos \alpha \]

\[ \cos(90° – \alpha) = \sin \alpha \]

\[ \sin(180° – \alpha) = \sin \alpha \]

\[ \cos(180° – \alpha) = -\cos \alpha \]

Dzięki tym wzorem i znajomości wartości dla kątów podstawowych, można łatwo obliczyć wartości dla innych kątów, np.:

\[ \sin 120° = \sin(180° – 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \cos 120° = \cos(180° – 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2} \]

Podsumowanie

Znajomość dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° jest niezbędna w wielu dziedzinach matematyki i nauk stosowanych. Wartości te można wyprowadzić geometrycznie, analizując proste trójkąty prostokątne, co czyni je łatwymi do zapamiętania.

Najważniejsze wartości do zapamiętania:

• Sinus: \( \sin 30° = \frac{1}{2} \), \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Cosinus: \( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos 60° = \frac{1}{2} \)
• Tangens: \( \tg 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} \), \( \tg 45° = 1 \), \( \tg 60° = \sqrt{3} \)

Opanowanie tych wartości znacznie ułatwi rozwiązywanie zadań z trygonometrii oraz zrozumienie bardziej zaawansowanych koncepcji matematycznych.