Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych w klasie 6 – kluczowe zagadnienia

Czym są liczby całkowite?

Zanim przejdziemy do dodawania i odejmowania liczb całkowitych, przypomnijmy sobie, czym właściwie są liczby całkowite. Liczby całkowite to zbiór, który obejmuje:

liczby ujemne: \(-3\), \(-2\), \(-1\), …
zero: \(0\)
liczby dodatnie: \(1\), \(2\), \(3\), …

Na osi liczbowej liczby całkowite rozmieszczone są w równych odstępach:

Dodawanie liczb całkowitych

Dodawanie liczb całkowitych może wydawać się trudne, szczególnie gdy pojawiają się liczby ujemne. Jednak wystarczy zapamiętać kilka prostych zasad, aby sprawnie wykonywać te działania.

Zasady dodawania liczb całkowitych:

Dodawanie dwóch liczb dodatnich – wynik jest liczbą dodatnią.
Na przykład: \(2 + 3 = 5\)
Dodawanie dwóch liczb ujemnych – wynik jest liczbą ujemną, a jego wartość bezwzględna jest sumą wartości bezwzględnych składników.
Na przykład: \((-2) + (-3) = -5\)
Dodawanie liczby dodatniej i ujemnej – odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną od większej i nadajemy wynikowi znak liczby o większej wartości bezwzględnej.
Na przykład: \(5 + (-3) = 2\) lub \(2 + (-5) = -3\)

Przykłady dodawania liczb całkowitych:

Przykład 1: \(4 + 3 = 7\)
Dodajemy dwie liczby dodatnie, więc wynik jest dodatni.

Przykład 2: \((-4) + (-3) = -7\)
Dodajemy dwie liczby ujemne, więc wynik jest ujemny i równy sumie wartości bezwzględnych.

Przykład 3: \(4 + (-3) = 1\)
Dodajemy liczbę dodatnią i ujemną. Ponieważ \(|4| > |-3|\), wynik ma znak liczby 4, czyli jest dodatni.
\(|4| – |-3| = 4 – 3 = 1\)

Przykład 4: \(2 + (-5) = -3\)
Dodajemy liczbę dodatnią i ujemną. Ponieważ \(|2| < |-5|\), wynik ma znak liczby -5, czyli jest ujemny.
\(|-5| – |2| = 5 – 2 = 3\), więc wynik to \(-3\).

Interpretacja dodawania na osi liczbowej

Dodawanie liczb całkowitych można interpretować jako przesuwanie się po osi liczbowej:

Dodawanie liczby dodatniej oznacza przesunięcie w prawo o odpowiednią liczbę jednostek.
Dodawanie liczby ujemnej oznacza przesunięcie w lewo o odpowiednią liczbę jednostek.

Na przykład, aby obliczyć \((-2) + 5\):

Zaczynamy od punktu \(-2\) na osi liczbowej.
Przesuwamy się o 5 jednostek w prawo (bo dodajemy liczbę dodatnią).
Docieramy do punktu 3, więc \((-2) + 5 = 3\).

Odejmowanie liczb całkowitych

Odejmowanie liczb całkowitych można sprowadzić do dodawania, stosując prostą zasadę:

Zasada odejmowania: Aby odjąć liczbę całkowitą, dodajemy liczbę przeciwną.

\(a – b = a + (-b)\)

Liczba przeciwna do liczby \(a\) to liczba \(-a\), która ma tę samą wartość bezwzględną, ale przeciwny znak.

Przykłady odejmowania liczb całkowitych:

Przykład 1: \(5 – 3 = 5 + (-3) = 2\)
Odejmowanie liczby dodatniej od dodatniej.

Przykład 2: \(5 – (-3) = 5 + 3 = 8\)
Odejmowanie liczby ujemnej (dodawanie liczby przeciwnej do ujemnej, czyli dodatniej).

Przykład 3: \((-5) – 3 = (-5) + (-3) = -8\)
Odejmowanie liczby dodatniej od ujemnej.

Przykład 4: \((-5) – (-3) = (-5) + 3 = -2\)
Odejmowanie liczby ujemnej od ujemnej (dodawanie liczby przeciwnej do ujemnej, czyli dodatniej).

Interpretacja odejmowania na osi liczbowej

Odejmowanie na osi liczbowej można interpretować jako dodawanie liczby przeciwnej:

Odejmowanie liczby dodatniej oznacza przesunięcie w lewo o odpowiednią liczbę jednostek.
Odejmowanie liczby ujemnej oznacza przesunięcie w prawo o odpowiednią liczbę jednostek.

Na przykład, aby obliczyć \(3 – 5\):

Zaczynamy od punktu 3 na osi liczbowej.
Odejmowanie 5 oznacza dodanie \(-5\), czyli przesunięcie o 5 jednostek w lewo.
Docieramy do punktu \(-2\), więc \(3 – 5 = -2\).

Praktyczne wskazówki i triki

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Oznaczamy ją symbolem \(|a|\).

\(|5| = 5\) (wartość bezwzględna liczby dodatniej to ta sama liczba)
\(|-5| = 5\) (wartość bezwzględna liczby ujemnej to liczba przeciwna)
\(|0| = 0\) (wartość bezwzględna zera to zero)

Zapamiętaj te wzory:

Dla liczb całkowitych \(a\) i \(b\):

Dodawanie: \(a + b\)
Odejmowanie: \(a – b = a + (-b)\)

Ćwiczenia z rozwiązaniami

Teraz przećwiczmy dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych na kilku przykładach:

Ćwiczenie 1: Oblicz \((-7) + 12\)

Rozwiązanie:
\((-7) + 12\)
Dodajemy liczbę dodatnią i ujemną. Ponieważ \(|-7| < |12|\), wynik ma znak liczby 12, czyli jest dodatni.
\(|12| – |-7| = 12 – 7 = 5\)
Odpowiedź: \((-7) + 12 = 5\)

Ćwiczenie 2: Oblicz \(8 – 15\)

Rozwiązanie:
\(8 – 15 = 8 + (-15)\)
Dodajemy liczbę dodatnią i ujemną. Ponieważ \(|8| < |-15|\), wynik ma znak liczby -15, czyli jest ujemny.
\(|-15| – |8| = 15 – 8 = 7\)
Odpowiedź: \(8 – 15 = -7\)

Ćwiczenie 3: Oblicz \((-9) – (-4)\)

Rozwiązanie:
\((-9) – (-4) = (-9) + 4\)
Dodajemy liczbę dodatnią i ujemną. Ponieważ \(|-9| > |4|\), wynik ma znak liczby -9, czyli jest ujemny.
\(|-9| – |4| = 9 – 4 = 5\)
Odpowiedź: \((-9) – (-4) = -5\)

Ćwiczenie 4: Oblicz \((-6) + (-8)\)

Rozwiązanie:
\((-6) + (-8)\)
Dodajemy dwie liczby ujemne, więc wynik jest ujemny i równy sumie wartości bezwzględnych.
\(|-6| + |-8| = 6 + 8 = 14\)
Odpowiedź: \((-6) + (-8) = -14\)

Ćwiczenie 5: Oblicz \((-3) – 5\)

Rozwiązanie:
\((-3) – 5 = (-3) + (-5)\)
Dodajemy dwie liczby ujemne, więc wynik jest ujemny i równy sumie wartości bezwzględnych.
\(|-3| + |-5| = 3 + 5 = 8\)
Odpowiedź: \((-3) – 5 = -8\)

Zastosowania praktyczne

Umiejętność dodawania i odejmowania liczb całkowitych jest bardzo przydatna w codziennym życiu. Oto kilka przykładów:

Temperatura – gdy temperatura spada z 5°C do -3°C, zmiana wynosi 5 – (-3) = 5 + 3 = 8 stopni.
Finanse – jeśli masz na koncie 200 zł i wydasz 250 zł (korzystając z debetu), twój stan konta wynosi 200 – 250 = -50 zł.
Wysokość nad poziomem morza – jeśli nurek zanurza się na głębokość 15 m poniżej poziomu morza (-15 m), a następnie wynurza się o 10 m, jego nowa pozycja to (-15) + 10 = -5 m (wciąż 5 m pod wodą).

Podsumowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych to podstawowe umiejętności matematyczne, które przydadzą się w dalszej nauce i w życiu codziennym. Najważniejsze zasady to:

Przy dodawaniu liczb o tych samych znakach, dodajemy ich wartości bezwzględne i zachowujemy wspólny znak.
Przy dodawaniu liczb o różnych znakach, odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną od większej i nadajemy wynikowi znak liczby o większej wartości bezwzględnej.
Odejmowanie sprowadzamy do dodawania liczby przeciwnej: \(a – b = a + (-b)\).

Regularne ćwiczenie tych działań pomoże Ci opanować je do perfekcji i z łatwością rozwiązywać bardziej złożone problemy matematyczne w przyszłości.