Liczby zespolone: Postać wykładnicza i trygonometryczna w matematyce

Liczby zespolone stanowią fundamentalne rozszerzenie liczb rzeczywistych, wprowadzając nowy wymiar do matematyki. Dzięki nim możemy rozwiązywać równania, które w zbiorze liczb rzeczywistych nie mają rozwiązań, takie jak \(x^2 + 1 = 0\). W tym artykule skupimy się na dwóch szczególnie użytecznych reprezentacjach liczb zespolonych: postaci trygonometrycznej i wykładniczej.

Czym są liczby zespolone?

Zanim przejdziemy do głównego tematu, przypomnijmy podstawowe informacje o liczbach zespolonych. Liczba zespolona to liczba postaci:

\[ z = a + bi \]

gdzie:

\(a\) – część rzeczywista liczby zespolonej (oznaczana jako \(\text{Re}(z)\))
\(b\) – część urojona liczby zespolonej (oznaczana jako \(\text{Im}(z)\))
\(i\) – jednostka urojona, dla której zachodzi \(i^2 = -1\)

Powyższy zapis nazywamy postacią algebraiczną (lub kanoniczną) liczby zespolonej. Jest to najbardziej podstawowa reprezentacja, ale nie zawsze najwygodniejsza w obliczeniach.

Interpretacja geometryczna liczb zespolonych

Liczby zespolone można interpretować jako punkty na płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną zespoloną lub płaszczyzną Gaussa. W tej interpretacji:

Oś pozioma (oś X) odpowiada części rzeczywistej
Oś pionowa (oś Y) odpowiada części urojonej

Liczba zespolona \(z = a + bi\) reprezentuje punkt o współrzędnych \((a, b)\) na tej płaszczyźnie.

Moduł liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej \(z = a + bi\) oznaczamy symbolem \(|z|\) i definiujemy jako odległość punktu \((a, b)\) od początku układu współrzędnych:

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Moduł liczby zespolonej ma wiele interpretacji:

Geometrycznie: odległość punktu reprezentującego liczbę zespoloną od początku układu współrzędnych
Algebraicznie: pierwiastek z iloczynu liczby zespolonej i jej sprzężenia \(|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}\)

Argument liczby zespolonej

Argument liczby zespolonej \(z = a + bi\) (oznaczany jako \(\arg(z)\) lub \(\theta\)) to kąt między dodatnią półosią rzeczywistą a wektorem prowadzącym od początku układu współrzędnych do punktu \((a, b)\).

Dla liczby zespolonej \(z = a + bi \neq 0\), argument można obliczyć za pomocą funkcji arcus tangens:

\[ \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \]

Jednak powyższy wzór działa poprawnie tylko dla liczb z pierwszej ćwiartki (gdy \(a > 0\) i \(b > 0\)). Ogólny wzór na argument uwzględniający wszystkie ćwiartki to:

\[ \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan\left(\frac{b}{a}\right) & \text{dla } a > 0 \\
\arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi & \text{dla } a < 0, b \geq 0 \\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right) - \pi & \text{dla } a < 0, b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & \text{dla } a = 0, b > 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \text{dla } a = 0, b < 0 \\ \text{nieokreślony} & \text{dla } a = 0, b = 0 \end{cases} \]

W praktyce, większość języków programowania i kalkulatorów oferuje funkcję \(\text{atan2}(b, a)\), która automatycznie uwzględnia wszystkie przypadki.

Argument główny liczby zespolonej to wartość argumentu z przedziału \((-\pi, \pi]\) lub \([0, 2\pi)\), w zależności od przyjętej konwencji.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Mając zdefiniowane moduł \(r = |z|\) i argument \(\theta = \arg(z)\), możemy zapisać liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej:

\[ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \]

gdzie:

\(r\) – moduł liczby zespolonej
\(\theta\) – argument liczby zespolonej

Postać trygonometryczna wynika bezpośrednio z interpretacji geometrycznej. Jeśli punkt \((a, b)\) leży na okręgu o promieniu \(r\) i tworzy kąt \(\theta\) z osią rzeczywistą, to:

\(a = r\cos\theta\)
\(b = r\sin\theta\)

Stąd: \(z = a + bi = r\cos\theta + i \cdot r\sin\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)

Przykład 1: Przekształcenie z postaci algebraicznej na trygonometryczną

Przekształćmy liczbę \(z = 3 + 4i\) do postaci trygonometrycznej.

Krok 1: Obliczamy moduł

\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Krok 2: Obliczamy argument

\[ \theta = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.9273 \text{ rad} \approx 53.13° \]

Krok 3: Zapisujemy w postaci trygonometrycznej

\[ z = 5(\cos(0.9273) + i\sin(0.9273)) \]

lub w stopniach:

\[ z = 5(\cos(53.13°) + i\sin(53.13°)) \]

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Postać wykładnicza liczby zespolonej wykorzystuje wzór Eulera, który ustanawia związek między funkcjami trygonometrycznymi a funkcją wykładniczą:

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

Dzięki temu wzorowi, liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) możemy zapisać zwięźlej jako:

\[ z = re^{i\theta} \]

Ta reprezentacja nazywana jest postacią wykładniczą liczby zespolonej.

Przykład 2: Przekształcenie z postaci trygonometrycznej na wykładniczą

Przekształćmy liczbę \(z = 5(\cos(53.13°) + i\sin(53.13°))\) do postaci wykładniczej.

Korzystając bezpośrednio ze wzoru Eulera:

\[ z = 5e^{i \cdot 53.13°} \]

Wyrażając kąt w radianach:

\[ z = 5e^{i \cdot 0.9273} \]

Działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej i wykładniczej

Postać trygonometryczna i wykładnicza są szczególnie przydatne przy wykonywaniu pewnych działań na liczbach zespolonych.

Mnożenie

Dla dwóch liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:

\[ z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \]

\[ z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) \]

Ich iloczyn wynosi:

\[ z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] \]

W postaci wykładniczej mnożenie jest jeszcze prostsze:

\[ z_1 \cdot z_2 = r_1e^{i\theta_1} \cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \]

Widzimy, że przy mnożeniu liczb zespolonych:

Moduły się mnożą
Argumenty się dodają

Przykład 3: Mnożenie liczb zespolonych

Pomnóżmy liczby \(z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{4}}\) i \(z_2 = 3e^{i\frac{\pi}{6}}\).

\[ z_1 \cdot z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{4}} \cdot 3e^{i\frac{\pi}{6}} = 2 \cdot 3 \cdot e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})} = 6e^{i\frac{5\pi}{12}} \]

Dzielenie

Dla dzielenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2)] \]

W postaci wykładniczej:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 – \theta_2)} \]

Przy dzieleniu liczb zespolonych:

Moduły się dzielą
Argumenty się odejmują

Potęgowanie – wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a pozwala na łatwe obliczanie potęg liczb zespolonych. Dla liczby zespolonej \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) i liczby naturalnej \(n\):

\[ z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \]

W postaci wykładniczej:

\[ z^n = (re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta} \]

Przykład 4: Potęgowanie liczby zespolonej

Obliczmy \(z^5\) dla \(z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}\).

\[ z^5 = (2e^{i\frac{\pi}{3}})^5 = 2^5 \cdot e^{i \cdot 5 \cdot \frac{\pi}{3}} = 32e^{i\frac{5\pi}{3}} \]

Ponieważ \(\frac{5\pi}{3} = \pi + \frac{2\pi}{3}\), możemy również zapisać:

\[ z^5 = 32e^{i(\pi + \frac{2\pi}{3})} = 32e^{i\pi} \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = 32 \cdot (-1) \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}} = -32e^{i\frac{2\pi}{3}} \]

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Pierwiastek \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(z = re^{i\theta}\) to zbiór \(n\) różnych liczb zespolonych:

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\theta + 2\pi k}{n}} \]

gdzie \(k = 0, 1, 2, …, n-1\).

W postaci trygonometrycznej:

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) \right) \]

Przykład 5: Pierwiastkowanie liczby zespolonej

Znajdźmy wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby \(z = 8i\).

Najpierw zapiszmy \(z\) w postaci wykładniczej:

\[ 8i = 8e^{i\frac{\pi}{2}} \]

Korzystając ze wzoru na pierwiastkowanie:

\[ \sqrt[3]{8i} = \sqrt[3]{8} \cdot e^{i\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}} = 2 \cdot e^{i\frac{\pi + 4\pi k}{6}} \]

Dla \(k = 0, 1, 2\) otrzymujemy trzy pierwiastki:

\[ w_0 = 2e^{i\frac{\pi}{6}} = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}i = \sqrt{3} + i \]

\[ w_1 = 2e^{i\frac{5\pi}{6}} = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2 \cdot \frac{1}{2}i = -\sqrt{3} + i \]

\[ w_2 = 2e^{i\frac{9\pi}{6}} = 2e^{i\frac{3\pi}{2}} = 2\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1)i = -2i \]

Geometrycznie, te trzy pierwiastki leżą na okręgu o promieniu 2 i są równomiernie rozłożone co \(120°\).

Zastosowania postaci wykładniczej i trygonometrycznej

Postać wykładnicza i trygonometryczna liczb zespolonych mają liczne zastosowania:

Analiza obwodów prądu zmiennego – w elektrotechnice, gdzie impedancja i admitancja są wyrażane jako liczby zespolone
Mechanika falowa i teoria drgań – przy analizie fal i drgań harmonicznych
Transformacja Fouriera – w analizie sygnałów i przetwarzaniu obrazów
Mechanika kwantowa – gdzie funkcje falowe są często wyrażane za pomocą liczb zespolonych
Geometria analityczna – przy opisie przekształceń geometrycznych na płaszczyźnie

Podsumowanie

Postać trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych to potężne narzędzia matematyczne, które znacząco upraszczają wiele operacji, takich jak mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie. Ich główne zalety to:

Intuicyjna interpretacja geometryczna
Uproszczenie skomplikowanych operacji algebraicznych
Eleganckie rozwiązania problemów w wielu dziedzinach nauki i techniki

Warto zauważyć, że każda liczba zespolona może być przedstawiona w trzech równoważnych postaciach:

Postać	Wzór	Przykład dla \(z = 3 + 4i\)
Algebraiczna	\(z = a + bi\)	\(z = 3 + 4i\)
Trygonometryczna	\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)	\(z = 5(\cos(53.13°) + i\sin(53.13°))\)
Wykładnicza	\(z = re^{i\theta}\)	\(z = 5e^{i \cdot 53.13°}\)