Dwumian Newtona: Wzory i Zastosowania w Kombinatoryce

Czym jest Dwumian Newtona?

Dwumian Newtona (znany również jako wzór dwumianowy) to jedna z najważniejszych formuł w matematyce, szczególnie w kombinatoryce. Pozwala on na rozwinięcie potęgi sumy dwóch zmiennych $$(a+b)^n$$ na sumę wyrazów postaci $$a^kb^{n-k}$$ pomnożonych przez odpowiednie współczynniki, zwane współczynnikami dwumianowymi.

Wzór Dwumianu Newtona

Podstawowy wzór dwumianowy Newtona dla dowolnej liczby naturalnej $$n$$ ma postać:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Lub w formie rozpisanej:

$$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + … + \binom{n}{n-1}a^1b^{n-1} + \binom{n}{n}b^n$$

gdzie $$\binom{n}{k}$$ to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), który oznacza liczbę sposobów wyboru $$k$$ elementów z $$n$$-elementowego zbioru bez uwzględnienia kolejności.

Symbol Newtona (współczynnik dwumianowy)

Symbol Newtona, oznaczany jako $$\binom{n}{k}$$ (czytany jako „n po k” lub „n wybierz k”), jest definiowany wzorem:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

gdzie $$n!$$ oznacza silnię liczby $$n$$, czyli iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do $$n$$:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot n$$

Przyjmujemy również, że $$0! = 1$$.

Przykład obliczania symbolu Newtona

Obliczmy $$\binom{5}{2}$$:

$$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$$

Oznacza to, że z 5-elementowego zbioru możemy wybrać 2 elementy na 10 różnych sposobów (nie uwzględniając kolejności).

Własności symbolu Newtona

Symbol Newtona ma kilka ważnych własności:

1. $$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$$ dla każdego $$n \geq 0$$
2. $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$ dla $$0 \leq k \leq n$$ (symetria)
3. $$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$ dla $$1 \leq k \leq n-1$$ (reguła rekurencyjna)
4. $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$ (suma wszystkich współczynników w rozwinięciu $$(1+1)^n$$)

Przykłady rozwinięcia dwumianu Newtona

Przykład 1: $$(a+b)^3$$

Rozwijamy $$(a+b)^3$$ korzystając z wzoru dwumianowego:

$$(a+b)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} a^{3-k} b^k$$

Obliczamy poszczególne współczynniki:

• $$\binom{3}{0} = 1$$
• $$\binom{3}{1} = 3$$
• $$\binom{3}{2} = 3$$
• $$\binom{3}{3} = 1$$

Zatem:

$$(a+b)^3 = \binom{3}{0}a^3 + \binom{3}{1}a^2b + \binom{3}{2}ab^2 + \binom{3}{3}b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Przykład 2: $$(x+y)^4$$

Rozwijamy $$(x+y)^4$$:

$$(x+y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} y^k$$

Obliczamy współczynniki:

• $$\binom{4}{0} = 1$$
• $$\binom{4}{1} = 4$$
• $$\binom{4}{2} = 6$$
• $$\binom{4}{3} = 4$$
• $$\binom{4}{4} = 1$$

Zatem:

$$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$$

Trójkąt Pascala

Współczynniki dwumianowe można przedstawić w formie trójkąta Pascala, który jest bardzo pomocny przy obliczaniu wartości $$\binom{n}{k}$$:

W trójkącie Pascala każda liczba jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią. Ta własność odpowiada regule rekurencyjnej $$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$.

Zastosowania Dwumianu Newtona

1. Rozwijanie wyrażeń algebraicznych

Podstawowym zastosowaniem dwumianu Newtona jest szybkie rozwijanie potęg sum, np. $$(x+y)^n$$, bez konieczności wykonywania żmudnych mnożeń.

2. Kombinatoryka

Symbol Newtona $$\binom{n}{k}$$ reprezentuje liczbę sposobów wyboru $$k$$ elementów z $$n$$-elementowego zbioru, co ma fundamentalne znaczenie w kombinatoryce.

3. Prawdopodobieństwo

W rachunku prawdopodobieństwa, szczególnie w rozkładzie dwumianowym, który opisuje liczbę sukcesów w $$n$$ niezależnych próbach Bernoulliego, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi $$p$$:

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

Jest to bezpośrednie zastosowanie dwumianu Newtona do $$(p + (1-p))^n$$.

4. Analiza matematyczna

Dwumian Newtona jest używany w analizie matematycznej, np. przy rozwijaniu funkcji w szereg Taylora.

5. Informatyka teoretyczna

W algorytmice i teorii złożoności obliczeniowej, np. przy analizie algorytmów rekurencyjnych.

Uogólnienia Dwumianu Newtona

Dwumian Newtona dla wykładników rzeczywistych

Wzór dwumianowy można rozszerzyć na wykładniki rzeczywiste (a nawet zespolone) $$\alpha$$:

$$(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k$$

gdzie $$\binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)…(\alpha-k+1)}{k!}$$

Szereg ten jest zbieżny dla $$|x| < 1$$.

Wielomian Newtona

Uogólnieniem dwumianu Newtona jest wielomian Newtona, który pozwala rozwinąć potęgę sumy wielu zmiennych:

$$(x_1 + x_2 + … + x_m)^n = \sum_{k_1 + k_2 + … + k_m = n} \binom{n}{k_1, k_2, …, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} … x_m^{k_m}$$

gdzie $$\binom{n}{k_1, k_2, …, k_m} = \frac{n!}{k_1! k_2! … k_m!}$$ to współczynnik wielomianowy.

Kalkulator Dwumianu Newtona

Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć:

1. Wartość symbolu Newtona $$\binom{n}{k}$$
2. Rozwinięcie dwumianu $$(a+b)^n$$ dla małych wartości $$n$$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1

Oblicz wartość symbolu Newtona $$\binom{7}{3}$$.

Rozwiązanie:

$$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$$

Zadanie 2

Rozwiń wyrażenie $$(2x-y)^4$$.

Rozwiązanie:

Korzystamy z wzoru dwumianowego, gdzie $$a = 2x$$ i $$b = -y$$:

$$(2x-y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} (-y)^k$$

Obliczamy poszczególne wyrazy:

• $$k=0: \binom{4}{0} (2x)^4 (-y)^0 = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 = 16x^4$$
• $$k=1: \binom{4}{1} (2x)^3 (-y)^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot (-y) = -32x^3y$$
• $$k=2: \binom{4}{2} (2x)^2 (-y)^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot y^2 = 24x^2y^2$$
• $$k=3: \binom{4}{3} (2x)^1 (-y)^3 = 4 \cdot 2x \cdot (-y)^3 = -8xy^3$$
• $$k=4: \binom{4}{4} (2x)^0 (-y)^4 = 1 \cdot 1 \cdot y^4 = y^4$$

Zatem:

$$(2x-y)^4 = 16x^4 – 32x^3y + 24x^2y^2 – 8xy^3 + y^4$$

Zadanie 3

Znajdź współczynnik przy $$x^3y^2$$ w rozwinięciu $$(x+y)^5$$