Analiza arkuszy maturalnych z matematyki 2021 – kluczowe odpowiedzi

Analiza arkuszy maturalnych z matematyki 2021 to istotny element przygotowań dla maturzystów. W niniejszym artykule omówimy kluczowe zadania, rozwiązania oraz strategie, które pomogą w skutecznym przygotowaniu się do egzaminu maturalnego z matematyki.

Charakterystyka matury z matematyki 2021

Matura z matematyki w 2021 roku, podobnie jak w latach poprzednich, składała się z dwóch poziomów: podstawowego (obowiązkowego dla wszystkich zdających) oraz rozszerzonego (dla osób planujących studia na kierunkach ścisłych). Egzamin na poziomie podstawowym trwał 170 minut i można było uzyskać maksymalnie 45 punktów, natomiast na poziomie rozszerzonym czas wynosił 180 minut, a maksymalna liczba punktów to 50.

W 2021 roku, ze względu na sytuację pandemiczną, wprowadzono pewne modyfikacje w wymaganiach egzaminacyjnych, co miało wpływ na zakres materiału sprawdzanego podczas egzaminu.

Poziom podstawowy – analiza kluczowych zadań

Zadania zamknięte

W arkuszu na poziomie podstawowym pierwsze 25 punktów można było zdobyć za zadania zamknięte. Przyjrzyjmy się kilku charakterystycznym przykładom:

Przykład 1: Wyrażenia algebraiczne

Jednym z typowych zadań było upraszczanie wyrażeń algebraicznych. Na przykład:

Wyznacz wartość wyrażenia \(\frac{2^{-2} \cdot 4^3}{8^1 \cdot 16^{-1}}\)

Rozwiązanie:

\(\frac{2^{-2} \cdot 4^3}{8^1 \cdot 16^{-1}} = \frac{2^{-2} \cdot (2^2)^3}{2^3 \cdot (2^4)^{-1}} = \frac{2^{-2} \cdot 2^6}{2^3 \cdot 2^{-4}} = \frac{2^{-2+6}}{2^{3-4}} = \frac{2^4}{2^{-1}} = 2^4 \cdot 2^1 = 2^5 = 32\)

Przykład 2: Funkcje

Często pojawiały się zadania dotyczące własności funkcji:

Dana jest funkcja \(f(x) = 3x^2 – 12x + 5\). Minimum funkcji jest równe:

Rozwiązanie:

Aby znaleźć minimum funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\), obliczamy współrzędną \(x\) wierzchołka: \(x_w = -\frac{b}{2a}\), a następnie wartość funkcji w tym punkcie.

\(f(x) = 3x^2 – 12x + 5\), więc \(a = 3\), \(b = -12\), \(c = 5\)

\(x_w = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2\)

\(f(2) = 3 \cdot 2^2 – 12 \cdot 2 + 5 = 3 \cdot 4 – 24 + 5 = 12 – 24 + 5 = -7\)

Zatem minimum funkcji wynosi -7.

Zadania otwarte

Druga część egzaminu zawierała zadania otwarte, wymagające przedstawienia pełnego rozwiązania. Oto analiza wybranych zadań:

Przykład 3: Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), w którym \(a_1 = -5\) oraz \(a_4 = 4\). Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała: \(r = a_{n+1} – a_n\).

Mamy \(a_1 = -5\) oraz \(a_4 = 4\). Możemy obliczyć różnicę \(r\):

\(a_4 = a_1 + 3r\)

\(4 = -5 + 3r\)

\(3r = 9\)

\(r = 3\)

Znając różnicę, możemy wyznaczyć kolejne wyrazy ciągu:

\(a_1 = -5\)

\(a_2 = -5 + 3 = -2\)

\(a_3 = -2 + 3 = 1\)

\(a_4 = 1 + 3 = 4\)

\(a_5 = 4 + 3 = 7\)

itd.

Sumę dziesięciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru:

\(S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (a_1 + a_{10}) = 5 \cdot (a_1 + a_{10})\)

Obliczmy \(a_{10}\):

\(a_{10} = a_1 + 9r = -5 + 9 \cdot 3 = -5 + 27 = 22\)

Teraz możemy obliczyć sumę:

\(S_{10} = 5 \cdot (-5 + 22) = 5 \cdot 17 = 85\)

Przykład 4: Geometria analityczna

Dane są punkty \(A = (1, -2)\) i \(B = (5, 6)\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), który jest środkiem odcinka \(AB\), oraz długość odcinka \(AB\).

Rozwiązanie:

Współrzędne środka odcinka obliczamy ze wzoru:

\(C = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})\)

\(C = (\frac{1 + 5}{2}, \frac{-2 + 6}{2}) = (\frac{6}{2}, \frac{4}{2}) = (3, 2)\)

Długość odcinka \(AB\) obliczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa w układzie współrzędnych:

\(|AB| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} = \sqrt{(5 – 1)^2 + (6 – (-2))^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)

Poziom rozszerzony – analiza kluczowych zadań

Arkusz na poziomie rozszerzonym zawierał zadania o wyższym stopniu trudności, wymagające głębszego zrozumienia koncepcji matematycznych.

Przykład 5: Rachunek różniczkowy

Dana jest funkcja \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 2\). Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji \(f\) w punktach, w których wykres przecina oś OX.

Rozwiązanie:

Najpierw znajdujemy punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX, rozwiązując równanie \(f(x) = 0\):

\(x^3 – 3x^2 + 2 = 0\)

\(x^2(x – 3) + 2 = 0\)

To równanie można rozwiązać metodą prób lub korzystając z twierdzenia Bézouta. Sprawdzając, otrzymujemy, że \(x = 1\) jest jednym z rozwiązań:

\(1^3 – 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0\)

Dzieląc wielomian przez \((x – 1)\), otrzymujemy:

\(x^3 – 3x^2 + 2 = (x – 1)(x^2 – 2x – 2)\)

Rozwiązując równanie \(x^2 – 2x – 2 = 0\) za pomocą delty:

\(\Delta = 4 + 8 = 12\)

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\)

Zatem punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX to: \(A = (1, 0)\), \(B = (1 + \sqrt{3}, 0)\) i \(C = (1 – \sqrt{3}, 0)\).

Aby znaleźć równania stycznych, obliczamy pochodną funkcji \(f\):

\(f'(x) = 3x^2 – 6x\)

Następnie obliczamy wartości pochodnej w punktach \(A\), \(B\) i \(C\):

\(f'(1) = 3 – 6 = -3\)

\(f'(1 + \sqrt{3}) = 3(1 + \sqrt{3})^2 – 6(1 + \sqrt{3}) = 3(1 + 2\sqrt{3} + 3) – 6 – 6\sqrt{3} = 3(4 + 2\sqrt{3}) – 6 – 6\sqrt{3} = 12 + 6\sqrt{3} – 6 – 6\sqrt{3} = 6\)

\(f'(1 – \sqrt{3}) = 3(1 – \sqrt{3})^2 – 6(1 – \sqrt{3}) = 3(1 – 2\sqrt{3} + 3) – 6 + 6\sqrt{3} = 3(4 – 2\sqrt{3}) – 6 + 6\sqrt{3} = 12 – 6\sqrt{3} – 6 + 6\sqrt{3} = 6\)

Równanie stycznej w punkcie \((x_0, y_0)\) ma postać: \(y – y_0 = f'(x_0) \cdot (x – x_0)\)

Dla punktu \(A = (1, 0)\):

\(y – 0 = -3 \cdot (x – 1)\)

\(y = -3x + 3\)

Dla punktu \(B = (1 + \sqrt{3}, 0)\):

\(y – 0 = 6 \cdot (x – (1 + \sqrt{3}))\)

\(y = 6x – 6 – 6\sqrt{3}\)

Dla punktu \(C = (1 – \sqrt{3}, 0)\):

\(y – 0 = 6 \cdot (x – (1 – \sqrt{3}))\)

\(y = 6x – 6 + 6\sqrt{3}\)

Przykład 6: Geometria

W trójkącie równobocznym ABC o boku długości \(a\) poprowadzono wysokość \(AD\). Oblicz pole trójkąta ABD.

Rozwiązanie:

W trójkącie równobocznym o boku \(a\), wysokość \(h\) wynosi:

\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a ponieważ \(AD\) jest wysokością, to \(D\) jest środkiem boku \(BC\). Zatem:

\(|BD| = \frac{a}{2}\)

Pole trójkąta ABD obliczamy ze wzoru:

\(P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \sin{\angle BAD}\)

Ponieważ \(AD\) jest wysokością, to \(\sin{\angle BAD} = \sin{90°} = 1\).

\(P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Najczęstsze błędy i strategie ich unikania

Analiza arkuszy maturalnych z 2021 roku pozwala zidentyfikować typowe błędy popełniane przez zdających:

1. Błędy rachunkowe

Jednym z najczęstszych problemów są proste błędy rachunkowe, które mogą prowadzić do utraty punktów nawet przy poprawnym toku rozumowania. Aby ich uniknąć:

• Pracuj systematycznie i starannie zapisuj kolejne kroki obliczeń
• Sprawdzaj wyniki, jeśli to możliwe, przez podstawienie do warunków zadania
• Uważaj szczególnie przy operacjach na ułamkach i liczbach ujemnych

2. Niepełne rozwiązania

Wielu zdających traci punkty przez niepełne rozwiązania – brak sprawdzenia wszystkich przypadków lub pominięcie istotnych warunków zadania. Pamiętaj, aby:

• Dokładnie przeczytać treść zadania i zidentyfikować wszystkie warunki
• Rozważyć wszystkie możliwe przypadki, szczególnie w zadaniach z parametrem
• Sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania spełniają wszystkie warunki zadania

3. Problemy z interpretacją geometryczną

Zadania geometryczne często sprawiają trudności ze względu na konieczność wizualizacji problemu. Warto:

• Wykonywać staranne rysunki pomocnicze
• Oznaczać na rysunku wszystkie dane i szukane wielkości
• Stosować twierdzenia geometryczne adekwatne do problemu

Porównanie z maturami próbnymi 2021

Porównując oficjalne arkusze maturalne z 2021 roku z arkuszami matur próbnych (np. organizowanych przez CKE w marcu 2021), można zauważyć pewne prawidłowości:

• Matury próbne często zawierały zadania o podobnej strukturze i poziomie trudności do zadań na egzaminie właściwym
• Niektóre typy zadań, szczególnie z zakresu funkcji i geometrii analitycznej, pojawiały się zarówno na maturach próbnych, jak i na egzaminie właściwym
• Zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki były reprezentowane w podobnym zakresie

To pokazuje, jak istotne jest rozwiązywanie arkuszy z matur próbnych jako elementu przygotowania do egzaminu właściwego.

Wskazówki do przygotowania do matury z matematyki

Na podstawie analizy arkuszy z 2021 roku, można sformułować następujące wskazówki dla przygotowujących się do matury z matematyki:

1. Systematyczne powtórki

Regularne powtarzanie materiału pozwala na utrwalenie wiedzy i umiejętności. Warto stworzyć harmonogram powtórek obejmujący wszystkie działy matematyki maturalnej.

2. Rozwiązywanie arkuszy maturalnych

Praktyka czyni mistrza – rozwiązywanie arkuszy z poprzednich lat, w tym z 2021 roku, pozwala oswoić się z formą zadań i wymaganiami egzaminacyjnymi.

3. Analiza popełnianych błędów

Po rozwiązaniu arkusza warto dokładnie przeanalizować popełnione błędy i zrozumieć ich przyczyny, aby uniknąć ich w przyszłości.

4. Koncentracja na trudniejszych zagadnieniach

Na podstawie analizy arkuszy z 2021 roku, warto poświęcić więcej uwagi zagadnieniom, które sprawiały zdającym najwięcej trudności, takim jak:

• Zadania z parametrem
• Rachunek różniczkowy
• Geometria analityczna
• Złożone zadania z trygonometrii

Podsumowanie

Analiza arkuszy maturalnych z matematyki 2021 roku pokazuje, że kluczem do sukcesu jest systematyczna praca, dokładne zrozumienie koncepcji matematycznych oraz praktyka w rozwiązywaniu różnorodnych zadań. Egzamin sprawdzał zarówno podstawowe umiejętności matematyczne, jak i zdolność do rozwiązywania bardziej złożonych problemów.

Przygotowując się do matury z matematyki, warto korzystać z doświadczeń poprzednich roczników i analizować arkusze egzaminacyjne, aby lepiej zrozumieć wymagania i typowe zadania. Pamiętaj, że matematyka to przede wszystkim umiejętność logicznego myślenia i rozwiązywania problemów, a nie tylko znajomość wzorów i procedur.

Mamy nadzieję, że przedstawiona analiza kluczowych odpowiedzi z matury 2021 pomoże Ci w skutecznym przygotowaniu się do egzaminu maturalnego z matematyki.