Dzielenie wielomianów: metody i przykłady
Dzielenie wielomianów to jedna z podstawowych operacji algebraicznych, która znajduje szerokie zastosowanie zarówno w teorii, jak i w praktycznych obliczeniach matematycznych. W tym artykule omówimy różne metody dzielenia wielomianów, skupiając się na dzieleniu pisemnym oraz niezwykle efektywnym schemacie Hornera. Przedstawimy krok po kroku algorytmy wraz z przykładami, które pomogą zrozumieć te techniki.
Podstawy dzielenia wielomianów
Zanim przejdziemy do konkretnych metod, przypomnijmy sobie, czym jest wielomian. Wielomian stopnia \(n\) to wyrażenie algebraiczne postaci:
\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \]
gdzie \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) to współczynniki wielomianu, a \(a_n \neq 0\).
Dzielenie wielomianów przypomina dzielenie liczb, ale operujemy na wyrażeniach algebraicznych. Gdy dzielimy wielomian \(P(x)\) przez wielomian \(D(x)\), otrzymujemy wielomian ilorazowy \(Q(x)\) oraz wielomian reszty \(R(x)\), spełniające zależność:
\[ P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x) \]
gdzie stopień \(R(x)\) jest mniejszy niż stopień \(D(x)\) lub \(R(x) = 0\).
Metoda dzielenia pisemnego wielomianów
Dzielenie pisemne wielomianów jest analogiczne do dzielenia pisemnego liczb. Oto algorytm:
- Zapisz wielomiany \(P(x)\) i \(D(x)\) w porządku malejących potęg.
- Podziel pierwszy wyraz wielomianu \(P(x)\) przez pierwszy wyraz wielomianu \(D(x)\), otrzymując pierwszy wyraz ilorazu.
- Pomnóż cały wielomian \(D(x)\) przez otrzymany wyraz ilorazu.
- Odejmij ten iloczyn od wielomianu \(P(x)\).
- Powtarzaj kroki 2-4 dla otrzymanej różnicy, aż stopień różnicy będzie mniejszy niż stopień \(D(x)\).
Zobaczmy to na przykładzie:
Przykład 1: Dzielenie wielomianu przez dwumian
Podzielmy wielomian \(P(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 4\) przez dwumian \(D(x) = x – 2\).
Krok 1: Ustawiamy działanie:
\[\begin{array}{r}
3x^2+x+4 \\
x-2\overline{\smash{\begin{array}{r}3x^3-5x^2+2x-4 \\
\underline{3x^3-6x^2\phantom{+2x-4}} \\
x^2+2x-4 \\
\underline{x^2-2x\phantom{-4}} \\
4x-4 \\
\underline{4x-8\phantom{-4}} \\
4
\end{array}}}
\end{array}\]
Krok 2: Dzielimy pierwszy wyraz \(3x^3\) przez \(x\), otrzymując \(3x^2\) w ilorazie.
Krok 3: Mnożymy \(3x^2 \cdot (x-2) = 3x^3 – 6x^2\).
Krok 4: Odejmujemy \(3x^3 – 6x^2\) od \(3x^3 – 5x^2 + 2x – 4\), otrzymując \(x^2 + 2x – 4\).
Krok 5: Powtarzamy proces dla \(x^2 + 2x – 4\):
- Dzielimy \(x^2\) przez \(x\), otrzymując \(x\) w ilorazie.
- Mnożymy \(x \cdot (x-2) = x^2 – 2x\).
- Odejmujemy, otrzymując \(4x – 4\).
Krok 6: Kontynuujemy:
- Dzielimy \(4x\) przez \(x\), otrzymując \(4\) w ilorazie.
- Mnożymy \(4 \cdot (x-2) = 4x – 8\).
- Odejmujemy, otrzymując \(4\).
Ponieważ stopień reszty \(4\) jest mniejszy niż stopień dzielnika \(x-2\), kończymy dzielenie.
Wynik: \(3x^3 – 5x^2 + 2x – 4 = (x – 2)(3x^2 + x + 4) + 4\)
Zatem iloraz \(Q(x) = 3x^2 + x + 4\), a reszta \(R(x) = 4\).
Schemat Hornera – efektywna metoda dzielenia przez dwumian
Schemat Hornera to bardzo wydajna metoda dzielenia wielomianu przez dwumian postaci \(x – a\). Metoda ta nie tylko upraszcza obliczenia, ale również pozwala na szybkie wyznaczenie wartości wielomianu dla konkretnego argumentu.
Algorytm schematu Hornera
Aby podzielić wielomian \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0\) przez dwumian \(x – a\), wykonujemy następujące kroki:
- Zapisujemy pierwszy współczynnik wielomianu \(a_n\) jako pierwszy współczynnik ilorazu.
- Mnożymy ten współczynnik przez \(a\) i dodajemy do następnego współczynnika wielomianu \(a_{n-1}\), otrzymując drugi współczynnik ilorazu.
- Kontynuujemy ten proces dla wszystkich współczynników wielomianu.
- Ostatnia otrzymana wartość to reszta z dzielenia.
Schemat Hornera można przedstawić w formie tabeli:
| Współczynniki \(P(x)\) | \(a_n\) | \(a_{n-1}\) | \(a_{n-2}\) | … | \(a_1\) | \(a_0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Mnożenie przez \(a\) | \(a \cdot b_n\) | \(a \cdot b_{n-1}\) | … | \(a \cdot b_2\) | \(a \cdot b_1\) | |
| Współczynniki ilorazu \(b_i\) | \(b_n = a_n\) | \(b_{n-1} = a_{n-1} + a \cdot b_n\) | \(b_{n-2} = a_{n-2} + a \cdot b_{n-1}\) | … | \(b_1 = a_1 + a \cdot b_2\) | Reszta \(R = a_0 + a \cdot b_1\) |
Przykład 2: Dzielenie wielomianu przez dwumian za pomocą schematu Hornera
Podzielmy ten sam wielomian \(P(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 4\) przez dwumian \(x – 2\) za pomocą schematu Hornera.
Dla dwumianu \(x – 2\) mamy \(a = 2\).
Współczynniki wielomianu \(P(x)\) to \(a_3 = 3\), \(a_2 = -5\), \(a_1 = 2\), \(a_0 = -4\).
| Współczynniki \(P(x)\) | 3 | -5 | 2 | -4 |
|---|---|---|---|---|
| Mnożenie przez 2 | 6 | 2 | 8 | |
| Współczynniki ilorazu | 3 | 1 | 4 | 4 (reszta) |
Obliczenia:
- \(b_3 = a_3 = 3\)
- \(b_2 = a_2 + a \cdot b_3 = -5 + 2 \cdot 3 = -5 + 6 = 1\)
- \(b_1 = a_1 + a \cdot b_2 = 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4\)
- \(R = a_0 + a \cdot b_1 = -4 + 2 \cdot 4 = -4 + 8 = 4\)
Wynik: \(3x^3 – 5x^2 + 2x – 4 = (x – 2)(3x^2 + x + 4) + 4\)
Zatem iloraz \(Q(x) = 3x^2 + x + 4\), a reszta \(R = 4\), co zgadza się z wynikiem uzyskanym metodą dzielenia pisemnego.
Twierdzenie o reszcie i zastosowanie schematu Hornera
Schemat Hornera ma dodatkowe zastosowanie dzięki twierdzeniu o reszcie, które mówi, że reszta z dzielenia wielomianu \(P(x)\) przez dwumian \(x – a\) jest równa wartości wielomianu \(P(a)\).
\[ P(x) = (x – a) \cdot Q(x) + R \Rightarrow P(a) = R \]
Dzięki temu schematem Hornera możemy szybko obliczać wartości wielomianów dla konkretnych argumentów.
Przykład 3: Obliczanie wartości wielomianu
Obliczmy wartość wielomianu \(P(x) = 2x^4 – 3x^3 + 5x – 7\) dla \(x = 3\) za pomocą schematu Hornera.
| Współczynniki \(P(x)\) | 2 | -3 | 0 | 5 | -7 |
|---|---|---|---|---|---|
| Mnożenie przez 3 | 6 | 9 | 27 | 96 | |
| Wyniki pośrednie | 2 | 3 | 9 | 32 | 89 |
Ostatnia wartość, 89, to \(P(3)\).
Wynik: \(P(3) = 2 \cdot 3^4 – 3 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3 – 7 = 2 \cdot 81 – 3 \cdot 27 + 5 \cdot 3 – 7 = 162 – 81 + 15 – 7 = 89\)
Dzielenie wielomianu przez wielomian wyższego stopnia
Gdy dzielnik ma stopień większy niż 1, stosujemy metodę dzielenia pisemnego. Poniżej przedstawiamy przykład dzielenia wielomianu przez trójmian.
Przykład 4: Dzielenie wielomianu przez trójmian
Podzielmy wielomian \(P(x) = 2x^4 – x^3 + 3x^2 – 2x + 5\) przez trójmian \(D(x) = x^2 + 2x + 3\).
Ustawiamy działanie:
\[\begin{array}{r}
2x^2-5x+13 \\
x^2+2x+3\overline{\smash{\begin{array}{r}2x^4-x^3+3x^2-2x+5 \\
\underline{2x^4+4x^3+6x^2\phantom{-2x+5}} \\
-5x^3-3x^2-2x+5 \\
\underline{-5x^3-10x^2-15x\phantom{+5}} \\
7x^2+13x+5 \\
\underline{7x^2+14x+21\phantom{+5}} \\
-x-16
\end{array}}}
\end{array}\]
Krok 1: Dzielimy pierwszy wyraz \(2x^4\) przez \(x^2\), otrzymując \(2x^2\) w ilorazie.
Krok 2: Mnożymy \(2x^2 \cdot (x^2+2x+3) = 2x^4+4x^3+6x^2\).
Krok 3: Odejmujemy, otrzymując \(-5x^3-3x^2-2x+5\).
Krok 4: Dzielimy \(-5x^3\) przez \(x^2\), otrzymując \(-5x\) w ilorazie.
Krok 5: Mnożymy \(-5x \cdot (x^2+2x+3) = -5x^3-10x^2-15x\).
Krok 6: Odejmujemy, otrzymując \(7x^2+13x+5\).
Krok 7: Dzielimy \(7x^2\) przez \(x^2\), otrzymując \(7\) w ilorazie.
Krok 8: Mnożymy \(7 \cdot (x^2+2x+3) = 7x^2+14x+21\).
Krok 9: Odejmujemy, otrzymując \(-x-16\).
Ponieważ stopień reszty \(-x-16\) jest mniejszy niż stopień dzielnika \(x^2+2x+3\), kończymy dzielenie.
Wynik: \(2x^4 – x^3 + 3x^2 – 2x + 5 = (x^2 + 2x + 3)(2x^2 – 5x + 7) + (-x – 16)\)
Zatem iloraz \(Q(x) = 2x^2 – 5x + 7\), a reszta \(R(x) = -x – 16\).
