Funkcja liniowa: definicja, wzory i przykłady zastosowania

Funkcja liniowa to jedna z podstawowych funkcji matematycznych, która znajduje szerokie zastosowanie zarówno w matematyce, jak i w wielu dziedzinach życia codziennego. W tym artykule szczegółowo omówimy czym jest funkcja liniowa, jakie ma własności, jak wygląda jej wykres oraz gdzie możemy ją zastosować w praktyce.

Definicja funkcji liniowej

Funkcja liniowa to funkcja określona wzorem:

\[ f(x) = ax + b \]

gdzie:

• \( a \) – współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej)
• \( b \) – wyraz wolny (przesunięcie)
• \( x \) – zmienna niezależna
• \( f(x) \) – wartość funkcji dla argumentu \( x \) (zmienna zależna)

Funkcja liniowa jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, czyli jej dziedziną jest zbiór \( \mathbb{R} \). Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta, stąd też pochodzi jej nazwa.

Własności funkcji liniowej

Funkcja liniowa posiada kilka charakterystycznych własności:

1. Monotoniczność:
   • Jeśli \( a > 0 \), funkcja jest rosnąca (wartości funkcji rosną wraz ze wzrostem argumentu)
   • Jeśli \( a < 0 \), funkcja jest malejąca (wartości funkcji maleją wraz ze wzrostem argumentu)
   • Jeśli \( a = 0 \), funkcja jest stała (wartości funkcji nie zmieniają się)
2. Miejsce zerowe: Punkt, w którym funkcja przyjmuje wartość 0. Dla funkcji liniowej miejsce zerowe obliczamy z równania \( ax + b = 0 \), co daje \( x = -\frac{b}{a} \) (gdy \( a \neq 0 \)). Jeśli \( a = 0 \) i \( b \neq 0 \), funkcja nie ma miejsca zerowego.
3. Punkt przecięcia z osią OY: Jest to punkt o współrzędnych \( (0, b) \).
4. Przyrost funkcji: Dla dowolnych argumentów \( x_1 \) i \( x_2 \), przyrost funkcji jest proporcjonalny do przyrostu argumentu: \( f(x_2) – f(x_1) = a(x_2 – x_1) \).

Interpretacja geometryczna współczynników

Współczynniki \( a \) i \( b \) mają jasną interpretację geometryczną:

• Współczynnik \( a \) określa nachylenie prostej względem osi OX. Im większa wartość bezwzględna \( a \), tym bardziej stroma jest prosta. Wartość \( a \) to tangens kąta nachylenia prostej do osi OX: \( a = \tan(\alpha) \), gdzie \( \alpha \) to kąt między prostą a dodatnią półosią OX.
• Współczynnik \( b \) określa punkt przecięcia prostej z osią OY. Jest to wartość funkcji dla argumentu \( x = 0 \), czyli \( f(0) = b \).

Różne postacie wzoru funkcji liniowej

Funkcję liniową można zapisać na kilka równoważnych sposobów:

1. Postać ogólna (kierunkowa): \( f(x) = ax + b \)
2. Postać z punktem i współczynnikiem kierunkowym: Jeśli znamy punkt \( P(x_0, y_0) \) leżący na wykresie funkcji oraz współczynnik kierunkowy \( a \), to wzór funkcji ma postać:
   \[ f(x) = a(x – x_0) + y_0 \]
3. Postać dwupunktowa: Jeśli znamy dwa różne punkty \( P_1(x_1, y_1) \) i \( P_2(x_2, y_2) \) leżące na wykresie funkcji, to wzór funkcji ma postać:
   \[ f(x) = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1) + y_1 \]
   gdzie \( \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \) to współczynnik kierunkowy \( a \).
4. Postać ogólna równania prostej: \( Ax + By + C = 0 \), gdzie \( B \neq 0 \). Możemy przekształcić to równanie do postaci funkcji liniowej:
   \[ y = -\frac{A}{B}x – \frac{C}{B} \]
   co daje \( a = -\frac{A}{B} \) i \( b = -\frac{C}{B} \).

Jak narysować wykres funkcji liniowej?

Aby narysować wykres funkcji liniowej \( f(x) = ax + b \), wystarczy znaleźć dwa punkty należące do wykresu i połączyć je linią prostą. Najczęściej wybieramy:

1. Punkt przecięcia z osią OY: \( (0, b) \)
2. Miejsce zerowe (jeśli istnieje): \( (-\frac{b}{a}, 0) \)

Poniżej przedstawiono przykładowe wykresy funkcji liniowych dla różnych wartości współczynników \( a \) i \( b \):

Jak obliczyć współczynniki funkcji liniowej?

Istnieje kilka metod obliczania współczynników \( a \) i \( b \) funkcji liniowej:

1. Znając dwa punkty

Jeśli znamy dwa punkty \( P_1(x_1, y_1) \) i \( P_2(x_2, y_2) \) leżące na wykresie funkcji, to:

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]

Następnie, znając \( a \), możemy obliczyć \( b \) z wzoru:

\[ b = y_1 – a \cdot x_1 \]

2. Znając współczynnik kierunkowy i punkt

Jeśli znamy współczynnik kierunkowy \( a \) oraz punkt \( P(x_0, y_0) \) leżący na wykresie, to:

\[ b = y_0 – a \cdot x_0 \]

3. Znając miejsce zerowe i punkt

Jeśli znamy miejsce zerowe \( x_0 \) (czyli punkt \( (x_0, 0) \)) oraz inny punkt \( P(x_1, y_1) \), to:

\[ a = \frac{y_1 – 0}{x_1 – x_0} = \frac{y_1}{x_1 – x_0} \]

Następnie \( b = -a \cdot x_0 \) (ponieważ \( 0 = a \cdot x_0 + b \)).

Przykłady zadań z funkcją liniową

Przykład 1: Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Zadanie: Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty \( A(2, 5) \) i \( B(4, 9) \).

Rozwiązanie:

Obliczamy współczynnik kierunkowy \( a \):

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{9 – 5}{4 – 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Teraz obliczamy wyraz wolny \( b \):

\[ b = y_1 – a \cdot x_1 = 5 – 2 \cdot 2 = 5 – 4 = 1 \]

Zatem wzór szukanej funkcji liniowej to \( f(x) = 2x + 1 \).

Sprawdźmy, czy funkcja rzeczywiście przechodzi przez podane punkty:

• Dla \( x = 2 \): \( f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \) ✓
• Dla \( x = 4 \): \( f(4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \) ✓

Przykład 2: Badanie własności funkcji liniowej

Zadanie: Dla funkcji \( f(x) = -3x + 6 \) określ:

1. dziedzinę i zbiór wartości
2. miejsca zerowe
3. punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych
4. monotoniczność

Rozwiązanie:

a) Dziedzina funkcji liniowej to zbiór liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \). Ponieważ współczynnik \( a = -3 \neq 0 \), zbiór wartości to również \( \mathbb{R} \).

b) Miejsce zerowe obliczamy z równania \( f(x) = 0 \):

\[ -3x + 6 = 0 \]

\[ -3x = -6 \]

\[ x = 2 \]

c) Punkty przecięcia z osiami:

• Z osią OX: punkt \( (2, 0) \) (to miejsce zerowe)
• Z osią OY: punkt \( (0, 6) \) (wartość \( b \))

d) Ponieważ \( a = -3 < 0 \), funkcja jest malejąca na całej dziedzinie.

Przykład 3: Zastosowanie praktyczne

Zadanie: Firma taksówkarska pobiera opłatę początkową 5 zł oraz 2 zł za każdy przejechany kilometr. Wyznacz wzór funkcji opisującej koszt przejazdu w zależności od liczby przejechanych kilometrów oraz oblicz koszt przejazdu na odległość 15 km.

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez \( x \) liczbę przejechanych kilometrów, a przez \( f(x) \) koszt przejazdu w złotych.

Opłata początkowa (stała) wynosi 5 zł, co odpowiada wyrazowi wolnemu \( b = 5 \).

Za każdy kilometr pobierana jest opłata 2 zł, co odpowiada współczynnikowi kierunkowemu \( a = 2 \).

Zatem wzór funkcji ma postać: \( f(x) = 2x + 5 \).

Koszt przejazdu na odległość 15 km wynosi:

\[ f(15) = 2 \cdot 15 + 5 = 30 + 5 = 35 \text{ zł} \]

Zastosowania funkcji liniowej

Funkcja liniowa znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach:

1. Ekonomia:
   • Funkcja kosztu: \( K(x) = kx + k_0 \), gdzie \( k \) to koszt jednostkowy, \( k_0 \) to koszty stałe, a \( x \) to liczba wyprodukowanych jednostek
   • Funkcja przychodu: \( P(x) = cx \), gdzie \( c \) to cena jednostkowa, a \( x \) to liczba sprzedanych jednostek
   • Amortyzacja liniowa: wartość środka trwałego maleje liniowo w czasie
2. Fizyka:
   • Ruch jednostajny: \( s(t) = vt + s_0 \), gdzie \( s \) to droga, \( v \) to prędkość, \( t \) to czas, a \( s_0 \) to położenie początkowe
   • Prawo Hooke’a: \( F = kx \), gdzie \( F \) to siła, \( k \) to współczynnik sprężystości, a \( x \) to wydłużenie sprężyny
   • Zależność temperatury wrzenia wody od ciśnienia (w pewnym zakresie)
3. Statystyka:
   • Regresja liniowa: aproksymacja danych empirycznych funkcją liniową
   • Korelacja liniowa: badanie zależności między zmiennymi
4. Życie codzienne:
   • Taryfy opłat (np. za taksówkę, prąd, gaz)
   • Przeliczanie jednostek (np. stopni Celsjusza na Fahrenheita)
   • Planowanie budżetu

Podsumowanie

Funkcja liniowa to jedna z najprostszych, a zarazem najważniejszych funkcji w matematyce. Jej wykresem jest linia prosta, a wzór ogólny to \( f(x) = ax + b \), gdzie \( a \) to współczynnik kierunkowy określający nachylenie prostej, a \( b \) to wyraz wolny określający przesunięcie wykresu wzdłuż osi OY.

Najważniejsze własności funkcji liniowej to:

• Monotoniczność zależna od znaku współczynnika \( a \)
• Miejsce zerowe \( x = -\frac{b}{a} \) (dla \( a \neq 0 \))
• Punkt przecięcia z osią OY: \( (0, b) \)

Funkcja liniowa ma szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i życia codziennego, od ekonomii i fizyki po statystykę i codzienne obliczenia. Jej prostota i uniwersalność sprawiają, że jest podstawowym narzędziem do modelowania zależności między wielkościami.