Niepewności pomiarowe i ich wpływ na wyniki badań: obliczanie i wzory

Wprowadzenie do niepewności pomiarowych

Każdy pomiar wykonany w laboratorium, w szkole czy w codziennym życiu jest obarczony pewną niedokładnością. Niezależnie od tego, jak precyzyjny jest nasz przyrząd pomiarowy i jak starannie wykonujemy pomiar, zawsze istnieje pewien margines błędu. To właśnie ten margines określamy mianem niepewności pomiarowej. Zrozumienie, jak obliczać i interpretować niepewności pomiarowe, jest kluczowe dla właściwej analizy wyników eksperymentalnych.

W tym artykule omówimy, czym są niepewności pomiarowe, jak je obliczać oraz jaki mają wpływ na interpretację wyników badań. Przedstawimy niezbędne wzory, przykłady obliczeń oraz praktyczne wskazówki dotyczące pracy z niepewnościami.

Czym jest niepewność pomiarowa?

Niepewność pomiarowa to parametr określający rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać mierzonej wielkości. Innymi słowy, jest to przedział, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się prawdziwa wartość mierzonej wielkości.

Niepewność pomiarowa:

Informuje o jakości wykonanego pomiaru
Pozwala ocenić wiarygodność uzyskanych wyników
Umożliwia porównywanie wyników pomiarów wykonanych różnymi metodami
Jest niezbędna do poprawnego wnioskowania na podstawie danych eksperymentalnych

Rodzaje niepewności pomiarowych

Niepewności pomiarowe dzielimy na dwa podstawowe typy:

Niepewność typu A (statystyczna)

Niepewność typu A wyznaczamy metodami statystycznymi na podstawie serii pomiarów tej samej wielkości. Odzwierciedla ona losowy charakter błędów pomiarowych i jest związana z rozrzutem wyników wokół wartości średniej.

Niepewność typu B (niestatystyczna)

Niepewność typu B szacujemy na podstawie dostępnych informacji o pomiarze, takich jak:

Dokładność przyrządów pomiarowych podana przez producenta
Dane z certyfikatów kalibracji
Doświadczenie eksperymentatora
Wpływ warunków środowiskowych

W praktyce często mamy do czynienia z obiema niepewnościami jednocześnie, dlatego wprowadza się pojęcie niepewności złożonej, która uwzględnia zarówno niepewność typu A, jak i typu B.

Obliczanie niepewności typu A

Niepewność typu A obliczamy na podstawie serii pomiarów tej samej wielkości. Najpierw wyznaczamy wartość średnią pomiarów:

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

gdzie:

\( \bar{x} \) – wartość średnia
\( n \) – liczba pomiarów
\( x_i \) – wynik i-tego pomiaru

Następnie obliczamy odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:

\[ s(x) = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \]

Niepewność standardowa typu A jest równa odchyleniu standardowemu średniej:

\[ u_A(\bar{x}) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \]

Przykład obliczania niepewności typu A

Załóżmy, że wykonaliśmy 5 pomiarów długości pręta i uzyskaliśmy następujące wyniki (w cm): 25.2, 25.4, 25.1, 25.3, 25.2.

Krok 1: Obliczamy wartość średnią:

\[ \bar{x} = \frac{25.2 + 25.4 + 25.1 + 25.3 + 25.2}{5} = \frac{126.2}{5} = 25.24 \text{ cm} \]

Krok 2: Obliczamy odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:

\[ s(x) = \sqrt{\frac{(25.2-25.24)^2 + (25.4-25.24)^2 + (25.1-25.24)^2 + (25.3-25.24)^2 + (25.2-25.24)^2}{5-1}} \]

\[ s(x) = \sqrt{\frac{0.0016 + 0.0256 + 0.0196 + 0.0036 + 0.0016}{4}} = \sqrt{\frac{0.052}{4}} = \sqrt{0.013} \approx 0.114 \text{ cm} \]

Krok 3: Obliczamy niepewność standardową typu A:

\[ u_A(\bar{x}) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}} = \frac{0.114}{\sqrt{5}} \approx 0.051 \text{ cm} \]

Zatem wynik pomiaru z niepewnością typu A zapiszemy jako:

\[ \bar{x} \pm u_A(\bar{x}) = 25.24 \pm 0.05 \text{ cm} \]

Obliczanie niepewności typu B

Niepewność typu B szacujemy na podstawie informacji o dokładności przyrządów pomiarowych i innych czynnikach wpływających na pomiar. Najczęściej stosowane podejścia to:

Niepewność dla rozkładu prostokątnego

Jeśli znamy tylko granice przedziału, w którym znajduje się prawdziwa wartość (np. działka elementarna przyrządu lub jego dokładność podana przez producenta), to zakładamy rozkład prostokątny i niepewność standardową obliczamy jako:

\[ u_B(x) = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

gdzie \( a \) to połowa szerokości przedziału (np. połowa działki elementarnej lub dokładności przyrządu).

Niepewność dla rozkładu trójkątnego

Jeśli wiemy, że wartości bliższe środka przedziału są bardziej prawdopodobne, stosujemy rozkład trójkątny:

\[ u_B(x) = \frac{a}{\sqrt{6}} \]

Przykład obliczania niepewności typu B

Załóżmy, że mierzymy długość pręta za pomocą linijki o dokładności ±0.1 cm. Zakładając rozkład prostokątny, niepewność typu B wynosi:

\[ u_B(x) = \frac{0.1}{\sqrt{3}} \approx 0.058 \text{ cm} \]

Niepewność złożona

Gdy mamy do czynienia zarówno z niepewnością typu A, jak i typu B, obliczamy niepewność złożoną według wzoru:

\[ u_C(x) = \sqrt{u_A^2(x) + u_B^2(x)} \]

Kontynuując nasz przykład:

\[ u_C(x) = \sqrt{(0.051)^2 + (0.058)^2} = \sqrt{0.0026 + 0.0034} = \sqrt{0.006} \approx 0.077 \text{ cm} \]

Zatem wynik pomiaru z niepewnością złożoną zapiszemy jako:

\[ x \pm u_C(x) = 25.24 \pm 0.08 \text{ cm} \]

Niepewność rozszerzona

Niepewność standardowa odpowiada poziomowi ufności około 68%. W praktyce często stosuje się niepewność rozszerzoną, która zapewnia wyższy poziom ufności (najczęściej 95% lub 99%).

Niepewność rozszerzoną obliczamy jako:

\[ U(x) = k \cdot u_C(x) \]

gdzie \( k \) to współczynnik rozszerzenia. Dla poziomu ufności 95% przyjmujemy \( k = 2 \), a dla 99% – \( k = 3 \).

Dla naszego przykładu, niepewność rozszerzona dla poziomu ufności 95% wynosi:

\[ U(x) = 2 \cdot 0.077 = 0.154 \text{ cm} \]

Zatem wynik pomiaru z niepewnością rozszerzoną zapiszemy jako:

\[ x \pm U(x) = 25.24 \pm 0.15 \text{ cm} \]

Propagacja niepewności

Często mierzone wielkości są wykorzystywane do obliczenia innych parametrów za pomocą funkcji matematycznych. W takich przypadkach musimy obliczyć, jak niepewności pomiarowe wpływają na niepewność wyniku końcowego.

Prawo propagacji niepewności

Dla funkcji \( y = f(x_1, x_2, …, x_n) \), niepewność standardową wyniku obliczamy jako:

\[ u(y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u^2(x_i) + 2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}u(x_i, x_j)} \]

gdzie \( u(x_i, x_j) \) to kowariancja między \( x_i \) i \( x_j \).

Jeśli wielkości \( x_i \) są niezależne (co często zakładamy), drugi człon znika i wzór upraszcza się do:

\[ u(y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u^2(x_i)} \]

Uproszczone wzory dla typowych funkcji

Dla prostych funkcji możemy stosować uproszczone wzory:

Funkcja	Niepewność wyniku
\( y = x_1 \pm x_2 \)	\( u(y) = \sqrt{u^2(x_1) + u^2(x_2)} \)
\( y = x_1 \cdot x_2 \) lub \( y = \frac{x_1}{x_2} \)	\( \frac{u(y)}{\|y\|} = \sqrt{\left(\frac{u(x_1)}{\|x_1\|}\right)^2 + \left(\frac{u(x_2)}{\|x_2\|}\right)^2} \)
\( y = x^n \)	\( \frac{u(y)}{\|y\|} = \|n\| \cdot \frac{u(x)}{\|x\|} \)

Przykład propagacji niepewności

Załóżmy, że obliczamy pole prostokąta \( P = a \cdot b \), gdzie \( a = 10.0 \pm 0.2 \text{ cm} \) i \( b = 5.0 \pm 0.1 \text{ cm} \).

Wartość pola wynosi:

\[ P = a \cdot b = 10.0 \text{ cm} \cdot 5.0 \text{ cm} = 50.0 \text{ cm}^2 \]

Stosując wzór dla iloczynu:

\[ \frac{u(P)}{|P|} = \sqrt{\left(\frac{u(a)}{|a|}\right)^2 + \left(\frac{u(b)}{|b|}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{0.2}{10.0}\right)^2 + \left(\frac{0.1}{5.0}\right)^2} = \sqrt{0.0004 + 0.0004} = 0.028 \]

Zatem:

\[ u(P) = 0.028 \cdot 50.0 \text{ cm}^2 = 1.4 \text{ cm}^2 \]

Wynik z niepewnością zapiszemy jako:

\[ P \pm u(P) = 50.0 \pm 1.4 \text{ cm}^2 \]

Wpływ niepewności na interpretację wyników

Niepewność pomiarowa ma kluczowe znaczenie dla właściwej interpretacji wyników badań. Oto kilka zasad:

Porównywanie wyników pomiarów

Dwa wyniki pomiarów \( x_1 \pm u(x_1) \) i \( x_2 \pm u(x_2) \) uznajemy za zgodne, jeśli ich przedziały niepewności nakładają się. Formalnie możemy to sprawdzić obliczając znormalizowaną różnicę:

\[ E_n = \frac{|x_1 – x_2|}{\sqrt{u^2(x_1) + u^2(x_2)}} \]

Jeśli \( E_n \leq 1 \), wyniki są zgodne w granicach niepewności.

Istotność statystyczna

Niepewność pomiarowa pozwala określić, czy zaobserwowany efekt jest statystycznie istotny. Jeśli zmierzona wartość różni się od wartości odniesienia o więcej niż kilkakrotność niepewności, możemy mówić o istotnym statystycznie efekcie.

Prezentacja wyników

Wyniki pomiarów zawsze powinny być prezentowane wraz z niepewnością. Liczba cyfr znaczących w niepewności powinna być dostosowana do jej wartości (zwykle 1-2 cyfry znaczące), a liczba cyfr znaczących w wyniku powinna odpowiadać niepewności.

Kalkulator niepewności pomiarowych

Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć niepewność typu A na podstawie serii pomiarów:

Kalkulator niepewności typu A

Wprowadź wyniki pomiarów oddzielone przecinkami:

Podsumowanie

Niepewności pomiarowe są nieodłącznym elementem każdego pomiaru i mają kluczowe znaczenie dla właściwej interpretacji wyników badań. Znajomość metod obliczania i analizy niepewności pozwala na: