Teoria prawdopodobieństwa – kompendium wiedzy dla uczniów szkół średnich

Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki, który zajmuje się analizą zjawisk losowych. Stanowi ona ważną część egzaminu maturalnego z matematyki. W tym artykule przedstawimy najważniejsze zagadnienia, definicje, wzory oraz przykłady, które pomogą Ci zrozumieć i opanować ten temat.

Spis treści

1. Podstawowe pojęcia
2. Prawdopodobieństwo klasyczne
3. Prawdopodobieństwo warunkowe
4. Niezależność zdarzeń
5. Schemat Bernoulliego
6. Zmienne losowe i ich rozkłady
7. Przykładowe zadania maturalne

1. Podstawowe pojęcia

Doświadczenie losowe

Doświadczenie losowe to czynność, której wyniku nie możemy przewidzieć przed jej wykonaniem, ale znamy wszystkie możliwe wyniki.

Przykłady:

• Rzut kostką do gry
• Losowanie kuli z urny
• Rzut monetą

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (oznaczana symbolem Ω) to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego.

Przykład: Dla rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych to: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Zdarzenie losowe

Zdarzenie losowe to dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych. Mówimy, że zdarzenie zaszło, jeśli wynik doświadczenia należy do tego zbioru.

Przykład: Dla rzutu kostką zdarzeniem losowym jest np. „wypadła liczba parzysta” = {2, 4, 6}

Zdarzenia – działania i rodzaje

Na zdarzeniach losowych można wykonywać działania:

• Suma zdarzeń A∪B – zachodzi, gdy zajdzie przynajmniej jedno ze zdarzeń A lub B
• Iloczyn zdarzeń A∩B – zachodzi, gdy zajdą jednocześnie zdarzenia A i B
• Różnica zdarzeń A\B – zachodzi, gdy zajdzie zdarzenie A i nie zajdzie zdarzenie B
• Zdarzenie przeciwne A’ – zachodzi, gdy nie zajdzie zdarzenie A

Rodzaje zdarzeń:

• Zdarzenie pewne – zawsze zachodzi (Ω)
• Zdarzenie niemożliwe – nigdy nie zachodzi (∅)
• Zdarzenia wykluczające się – nie mogą zajść jednocześnie (A∩B = ∅)
• Zdarzenia dopełniające – jedno z nich musi zajść (A∪A’ = Ω)

2. Prawdopodobieństwo klasyczne

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa

Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy jako:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{liczba sprzyjających zdarzeń elementarnych}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń elementarnych}}$$

Gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A.

Własności prawdopodobieństwa

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A
• P(Ω) = 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego)
• P(∅) = 0 (prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego)
• P(A’) = 1 – P(A) (prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego)
• Jeśli A i B są zdarzeniami wykluczającymi się, to P(A∪B) = P(A) + P(B)
• Dla dowolnych zdarzeń A i B: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Przykład

Rzucamy standardową kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej niż 4?

Rozwiązanie:

• Przestrzeń zdarzeń elementarnych: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Zdarzenie A: „wypadła liczba większa niż 4” = {5, 6}
• P(A) = |A|/|Ω| = 2/6 = 1/3

3. Prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B (oznaczane P(A|B)) wyraża się wzorem:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

dla P(B) > 0

Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

Przykład

W urnie znajduje się 5 kul białych i 3 kule czarne. Losujemy dwie kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula będzie biała, jeśli wiemy, że pierwsza wylosowana kula była czarna?

Rozwiązanie:

• Niech B oznacza zdarzenie „druga kula jest biała”
• Niech C oznacza zdarzenie „pierwsza kula jest czarna”
• Szukamy P(B|C)
• Po wylosowaniu czarnej kuli, w urnie pozostaje 5 kul białych i 2 kule czarne
• P(B|C) = 5/(5+2) = 5/7

4. Niezależność zdarzeń

Definicja niezależności zdarzeń

Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli zajście jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia drugiego, czyli:

$$P(A|B) = P(A) \text{ lub } P(B|A) = P(B)$$

Równoważnie, zdarzenia A i B są niezależne, gdy:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Przykład

Rzucamy dwukrotnie monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie orzeł?

Rozwiązanie:

• Niech A oznacza zdarzenie „w pierwszym rzucie wypadł orzeł”, P(A) = 1/2
• Niech B oznacza zdarzenie „w drugim rzucie wypadł orzeł”, P(B) = 1/2
• Zdarzenia A i B są niezależne, ponieważ wynik drugiego rzutu nie zależy od wyniku pierwszego
• P(A∩B) = P(A) · P(B) = 1/2 · 1/2 = 1/4

5. Schemat Bernoulliego

Definicja i wzór

Schemat Bernoulliego opisuje doświadczenie polegające na n-krotnym powtórzeniu tego samego doświadczenia losowego, w którym interesuje nas określone zdarzenie A o prawdopodobieństwie p.

Prawdopodobieństwo, że w n próbach zdarzenie A zajdzie dokładnie k razy wynosi:

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

gdzie X to zmienna losowa oznaczająca liczbę sukcesów.

Przykład

Rzucamy monetą 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 3 razy?

Rozwiązanie:

• n = 5 (liczba prób)
• k = 3 (liczba sukcesów)
• p = 1/2 (prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie)
• P(X=3) = $\binom{5}{3} \cdot (1/2)^3 \cdot (1/2)^2 = 10 \cdot (1/2)^5 = 10/32 = 5/16$

6. Zmienne losowe i ich rozkłady

Zmienna losowa

Zmienna losowa to funkcja, która każdemu wynikowi doświadczenia losowego przyporządkowuje liczbę rzeczywistą.

Rozkład zmiennej losowej

Rozkład zmiennej losowej to zbiór wszystkich wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa, wraz z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami.

Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana (średnia) zmiennej losowej dyskretnej X wyraża się wzorem:

$$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)$$

gdzie xi to możliwe wartości zmiennej X.

Wariancja

Wariancja zmiennej losowej X wyraża się wzorem:

$$Var(X) = E((X-E(X))^2) = \sum_{i} (x_i – E(X))^2 \cdot P(X=x_i)$$

Można też skorzystać z wzoru: Var(X) = E(X²) – (E(X))²

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

$$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$$

Przykład

Rzucamy kostką. Niech X będzie zmienną losową oznaczającą liczbę oczek. Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej X.

Rozwiązanie:

• Rozkład zmiennej X: P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = 1/6
• E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + 3·(1/6) + 4·(1/6) + 5·(1/6) + 6·(1/6) = 21/6 = 3.5
• E(X²) = 1²·(1/6) + 2²·(1/6) + 3²·(1/6) + 4²·(1/6) + 5²·(1/6) + 6²·(1/6) = 91/6
• Var(X) = E(X²) – (E(X))² = 91/6 – (3.5)² = 91/6 – 12.25 = 91/6 – 73.5/6 = 17.5/6 ≈ 2.92
• σ(X) = √(Var(X)) = √(17.5/6) ≈ 1.71

7. Przykładowe zadania maturalne

Zadanie 1

Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:

1. króla
2. karty pik
3. figury (walet, dama, król)

Rozwiązanie:

1. W talii są 4 króle, więc P(król) = 4/52 = 1/13
2. Kart pik jest 13, więc P(pik) = 13/52 = 1/4
3. Figur jest 12 (po 3 w każdym kolorze), więc P(figura) = 12/52 = 3/13

Zadanie 2

W urnie znajduje się 8 kul białych i 4 kule czarne. Losujemy 3 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule będą białe?

Rozwiązanie:

• Liczba wszystkich możliwych wyników losowania: $\binom{12}{3} = 220$
• Liczba korzystnych wyników (3 białe kule): $\binom{8}{3} = 56$
• P(3 białe) = 56/220 = 14/55

Zadanie 3

Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie parzysta.

Rozwiązanie:

• Przestrzeń zdarzeń elementarnych: 6 × 6 = 36 równie prawdopodobnych wyników
• Zdarzenie A: „suma oczek jest parzysta”
• Suma oczek jest parzysta, gdy: (nieparzysta + nieparzysta) lub (parzysta + parzysta)
• Liczba takich przypadków: (3×3) + (3×3) = 9 + 9 = 18
• P(A) = 18/36 = 1/2

Zadanie 4

Prawdopodobieństwo, że produkt jest wadliwy wynosi 0,05. Wybieramy losowo 10 produktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 z nich są wadliwe?

Rozwiązanie:

• Korzystamy ze schematu Bernoulliego: n = 10, k = 2, p = 0,05
• P(X=2) = $\binom{10}{2} \cdot 0,05^2 \cdot 0,95^8 = 45 \cdot 0,0025 \cdot 0,6634 \approx 0,0746$

Zadanie 5

W pudełku znajdują się 3 kule czerwone, 4 kule zielone i 5 kul niebieskich. Losujemy 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą tego samego koloru?

Rozwiązanie:

• Liczba wszystkich możliwych wyników losowania: $\binom{12}{2} = 66$
• Liczba korzystnych wyników:
  • 2 czerwone: $\binom{3}{2} = 3$
  • 2 zielone: $\binom{4}{2} = 6$
  • 2 niebieskie: $\binom{5}{2} = 10$
• Łącznie: 3 + 6 + 10 = 19 korzystnych wyników
• P(ten sam kolor) = 19/66 = 19/66