Rozwiązywanie nierówności kwadratowych: Praktyczne przykłady i zadania

Nierówności kwadratowe stanowią ważny element matematyki szkolnej, a umiejętność ich rozwiązywania jest niezbędna w wielu dziedzinach nauki. W tym artykule przedstawię krok po kroku, jak podejść do nierówności kwadratowych, rozwiązać je poprawnie i zinterpretować wyniki. Pokażę również praktyczne przykłady i zadania, które pomogą utrwalić zdobytą wiedzę.

Czym jest nierówność kwadratowa?

Nierówność kwadratowa to wyrażenie matematyczne zawierające wielomian drugiego stopnia, które można zapisać w postaci:

\[ ax^2 + bx + c > 0 \]

lub

\[ ax^2 + bx + c < 0 \]

lub

\[ ax^2 + bx + c \geq 0 \]

lub

\[ ax^2 + bx + c \leq 0 \]

gdzie \(a\), \(b\) i \(c\) są liczbami rzeczywistymi, a \(a \neq 0\) (jeśli \(a = 0\), mamy do czynienia z nierównością liniową, a nie kwadratową).

Metody rozwiązywania nierówności kwadratowych

Istnieje kilka metod rozwiązywania nierówności kwadratowych, ale najpopularniejsza i najbardziej uniwersalna jest metoda wykorzystująca miejsca zerowe wielomianu kwadratowego. Poniżej przedstawiam krok po kroku, jak rozwiązać nierówność kwadratową:

Krok 1: Przekształć nierówność do postaci standardowej

Pierwszym krokiem jest przekształcenie nierówności do jednej z postaci:

\[ ax^2 + bx + c > 0 \]

lub

\[ ax^2 + bx + c < 0 \]

Krok 2: Znajdź miejsca zerowe wielomianu kwadratowego

Aby znaleźć miejsca zerowe, rozwiązujemy równanie \(ax^2 + bx + c = 0\). Możemy to zrobić za pomocą wzoru na deltę:

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

Następnie, w zależności od wartości delty, obliczamy miejsca zerowe:

• Jeśli \(\Delta > 0\), wielomian ma dwa miejsca zerowe:
  \[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{i} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]
• Jeśli \(\Delta = 0\), wielomian ma jedno miejsce zerowe:
  \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \]
• Jeśli \(\Delta < 0\), wielomian nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Krok 3: Określ znak wielomianu w poszczególnych przedziałach

Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały. W każdym z tych przedziałów wielomian kwadratowy ma stały znak (dodatni lub ujemny). Aby określić znak wielomianu w danym przedziale, wystarczy sprawdzić jego wartość dla dowolnej liczby z tego przedziału.

Alternatywnie, możemy skorzystać z faktu, że:

• Jeśli \(a > 0\), parabola jest skierowana ramionami do góry, co oznacza, że wielomian przyjmuje wartości ujemne „pomiędzy” miejscami zerowymi (o ile istnieją).
• Jeśli \(a < 0\), parabola jest skierowana ramionami w dół, co oznacza, że wielomian przyjmuje wartości dodatnie "pomiędzy" miejscami zerowymi (o ile istnieją).

Krok 4: Zapisz rozwiązanie

Na podstawie znaku wielomianu w poszczególnych przedziałach, zapisujemy rozwiązanie nierówności jako przedział lub sumę przedziałów, w których wielomian spełnia warunek nierówności.

Praktyczne przykłady rozwiązywania nierówności kwadratowych

Przykład 1: Rozwiąż nierówność \(x^2 – 5x + 6 > 0\)

Rozwiązanie:

Krok 1: Nierówność jest już w postaci standardowej \(ax^2 + bx + c > 0\), gdzie \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).

Krok 2: Obliczamy deltę:

\[ \Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 \]

Ponieważ \(\Delta > 0\), wielomian ma dwa miejsca zerowe:

\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 – 1}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]

Krok 3: Miejsca zerowe \(x_1 = 2\) i \(x_2 = 3\) dzielą oś liczbową na trzy przedziały: \((-\infty, 2)\), \((2, 3)\) i \((3, +\infty)\).

Ponieważ \(a > 0\) (parabola skierowana ramionami do góry), wielomian przyjmuje wartości ujemne „pomiędzy” miejscami zerowymi, czyli w przedziale \((2, 3)\), a wartości dodatnie na zewnątrz tego przedziału.

Krok 4: Rozwiązaniem nierówności \(x^2 – 5x + 6 > 0\) są przedziały:

\[ x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \]

Przykład 2: Rozwiąż nierówność \(2x^2 + 3x – 5 \leq 0\)

Rozwiązanie:

Krok 1: Nierówność jest już w postaci standardowej \(ax^2 + bx + c \leq 0\), gdzie \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -5\).

Krok 2: Obliczamy deltę:

\[ \Delta = b^2 – 4ac = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \]

Ponieważ \(\Delta > 0\), wielomian ma dwa miejsca zerowe:

\[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 – 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Krok 3: Miejsca zerowe \(x_1 = -\frac{5}{2}\) i \(x_2 = 1\) dzielą oś liczbową na trzy przedziały: \((-\infty, -\frac{5}{2})\), \((-\frac{5}{2}, 1)\) i \((1, +\infty)\).

Ponieważ \(a > 0\) (parabola skierowana ramionami do góry), wielomian przyjmuje wartości ujemne „pomiędzy” miejscami zerowymi, czyli w przedziale \((-\frac{5}{2}, 1)\).

Krok 4: Rozwiązaniem nierówności \(2x^2 + 3x – 5 \leq 0\) jest przedział:

\[ x \in \left[-\frac{5}{2}, 1\right] \]

Zauważ, że używamy nawiasów kwadratowych, ponieważ nierówność zawiera znak „≤”, co oznacza, że miejsca zerowe również należą do rozwiązania.

Przykład 3: Rozwiąż nierówność \(-x^2 + 4x – 4 > 0\)

Rozwiązanie:

Krok 1: Nierówność jest już w postaci standardowej \(ax^2 + bx + c > 0\), gdzie \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -4\).

Krok 2: Obliczamy deltę:

\[ \Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-4) = 16 – 16 = 0 \]

Ponieważ \(\Delta = 0\), wielomian ma jedno miejsce zerowe:

\[ x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2 \]

Krok 3: Miejsce zerowe \(x_0 = 2\) dzieli oś liczbową na dwa przedziały: \((-\infty, 2)\) i \((2, +\infty)\).

Ponieważ \(a < 0\) (parabola skierowana ramionami w dół), wielomian przyjmuje wartości dodatnie "przed" miejscem zerowym, czyli w przedziale \((-\infty, 2)\).

Zauważmy, że wielomian \(-x^2 + 4x – 4\) można zapisać jako \(-(x^2 – 4x + 4) = -(x – 2)^2\). Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, wyrażenie \(-(x – 2)^2\) będzie zawsze niedodatnie (czyli ≤ 0), z wyjątkiem gdy \(x = 2\), wtedy będzie równe 0.

Zatem rozwiązaniem nierówności \(-x^2 + 4x – 4 > 0\) jest zbiór pusty, ponieważ nie istnieje wartość \(x\), dla której \(-(x – 2)^2 > 0\).

Przykład 4: Rozwiąż nierówność \(x^2 + 6x + 9 \geq 0\)

Rozwiązanie:

Krok 1: Nierówność jest już w postaci standardowej \(ax^2 + bx + c \geq 0\), gdzie \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 9\).

Krok 2: Obliczamy deltę:

\[ \Delta = b^2 – 4ac = 6^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 – 36 = 0 \]

Ponieważ \(\Delta = 0\), wielomian ma jedno miejsce zerowe:

\[ x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot 1} = -3 \]

Krok 3: Miejsce zerowe \(x_0 = -3\) dzieli oś liczbową na dwa przedziały: \((-\infty, -3)\) i \((-3, +\infty)\).

Ponieważ \(a > 0\) (parabola skierowana ramionami do góry), wielomian przyjmuje wartości dodatnie „na zewnątrz” miejsca zerowego, czyli w przedziałach \((-\infty, -3)\) i \((-3, +\infty)\).

Jednak możemy zauważyć, że \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\), co jest zawsze nieujemne dla dowolnej wartości \(x\). Wielomian przyjmuje wartość 0 tylko dla \(x = -3\).

Krok 4: Rozwiązaniem nierówności \(x^2 + 6x + 9 \geq 0\) jest cała dziedzina rzeczywista:

\[ x \in \mathbb{R} \]

Przypadki szczególne przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych

Przypadek 1: Delta ujemna (\(\Delta < 0\))

Jeśli delta jest ujemna, wielomian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych. W takim przypadku wielomian ma stały znak na całej osi liczbowej:

• Jeśli \(a > 0\), wielomian jest zawsze dodatni, więc rozwiązaniem nierówności \(ax^2 + bx + c > 0\) jest cała dziedzina rzeczywista \(\mathbb{R}\), a nierówność \(ax^2 + bx + c < 0\) nie ma rozwiązań.
• Jeśli \(a < 0\), wielomian jest zawsze ujemny, więc rozwiązaniem nierówności \(ax^2 + bx + c < 0\) jest cała dziedzina rzeczywista \(\mathbb{R}\), a nierówność \(ax^2 + bx + c > 0\) nie ma rozwiązań.

Przypadek 2: Delta równa zero (\(\Delta = 0\))

Jeśli delta jest równa zero, wielomian kwadratowy ma jedno miejsce zerowe (podwójne). W takim przypadku wielomian nie zmienia znaku, a jedynie dotyka osi OX w jednym punkcie:

• Jeśli \(a > 0\), wielomian jest nieujemny, więc rozwiązaniem nierówności \(ax^2 + bx + c \geq 0\) jest cała dziedzina rzeczywista \(\mathbb{R}\), a nierówności \(ax^2 + bx + c > 0\) to \(\mathbb{R} \setminus \{x_0\}\), gdzie \(x_0 = \frac{-b}{2a}\).
• Jeśli \(a < 0\), wielomian jest niedodatni, więc rozwiązaniem nierówności \(ax^2 + bx + c \leq 0\) jest cała dziedzina rzeczywista \(\mathbb{R}\), a nierówności \(ax^2 + bx + c < 0\) to \(\mathbb{R} \setminus \{x_0\}\), gdzie \(x_0 = \frac{-b}{2a}\).

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Poniżej znajduje się kilka zadań, które pomogą Ci utrwalić wiedzę na temat rozwiązywania nierówności kwadratowych:

Zadanie 1

Rozwiąż nierówność: \(x^2 – 7x + 12 > 0\)

Zadanie 2

Rozwiąż nierówność: \(3x^2 + 5x – 2 \leq 0\)

Zadanie 3

Rozwiąż nierówność: \(-2x^2 + 3x + 5 < 0\)

Zadanie 4

Rozwiąż nierówność: \(4x^2 + 4x + 1 \geq 0\)

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność: \(x^2 + 2x + 5 < 0\)

Rozwiązania zadań

Zadanie 1: \(x^2 – 7x + 12 > 0\)

Rozwiązanie:

Obliczamy deltę: \(\Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 – 48 = 1\)

Miejsca zerowe: \(x_1 = \frac{7 – 1}{2} = 3\) i \(x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4\)

Ponieważ \(a > 0\), wielomian przyjmuje wartości dodatnie poza przedziałem \((3, 4)\).

Rozwiązanie: \(x \in (-\infty, 3) \cup (4, +\infty)\)

Zadanie 2: \(3x^2 + 5x – 2 \leq 0\)

Rozwiązanie:

Obliczamy deltę: \(\Delta = 5^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\)

Miejsca zerowe: \(x_1 = \frac{-5 – 7}{6} = -2\) i \(x_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}\)

Ponieważ \(a > 0\), wielomian przyjmuje wartości niedodatnie w przedziale \([-2, \frac{1}{3}]\).

Rozwiązanie: \(x \in [-2, \frac{1}{3}]\)

Zadanie 3: \(-2x^2 + 3x + 5 < 0\)

Rozwiązanie:

Obliczamy deltę: \(\Delta = 3^2 – 4 \cdot (-2) \cdot 5 = 9 + 40 = 49\)

Miejsca zerowe: \(x_1 = \frac{-3 – 7}{2 \cdot (-2)} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2}\) i \(x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1\)

Ponieważ \(a < 0\), wielomian przyjmuje wartości ujemne poza przedziałem \([-1, \frac{5}{2}]\).

Rozwiązanie: \(x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)\)

Zadanie 4: \(4x^2 + 4x + 1 \geq 0\)

Rozwiązanie:

Obliczamy deltę: \(\Delta = 4^2 – 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 – 16 = 0\)

Miejsce zerowe: \(x_0 = \frac{-4}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{2}\)

Ponieważ \(a > 0\) i \(\Delta = 0\), wielomian jest nieujemny na całej dziedzinie rzeczywistej, przyjmując wartość 0 tylko dla \(x = -\frac{1}{2}\).

Rozwiązanie: \(x \in \mathbb{R}\)

Zadanie 5: \(x^2 + 2x + 5 < 0\)

Rozwiązanie:

Obliczamy deltę: \(\Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 – 20 = -16\)

Ponieważ \(\Delta < 0\), wielomian nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Ponieważ \(a > 0\) i \(\Delta < 0\), wielomian jest zawsze dodatni, więc nierówność \(x^2 + 2x + 5 < 0\) nie ma rozwiązań.

Rozwiązanie: \(\emptyset\) (zbiór pusty)