Wykresy funkcji trygonometrycznych: jak je czytać i interpretować

Funkcje trygonometryczne to jedne z najważniejszych narzędzi matematycznych, które znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki – od fizyki i inżynierii po astronomię i ekonomię. Zrozumienie ich wykresów jest kluczowe dla poprawnej interpretacji zjawisk, które opisują. W tym artykule nauczysz się, jak czytać i interpretować wykresy funkcji trygonometrycznych, poznasz ich najważniejsze właściwości oraz dowiesz się, jak wykorzystać tę wiedzę w praktyce.

Podstawowe funkcje trygonometryczne

Zanim przejdziemy do analizy wykresów, przypomnijmy sobie definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych. Wywodzą się one z relacji między bokami trójkąta prostokątnego, ale można je również zdefiniować za pomocą jednostkowego okręgu.

Cztery podstawowe funkcje trygonometryczne to:

• Sinus (sin) – stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przeciwległej
• Cosinus (cos) – stosunek długości przyległej do długości przeciwprostokątnej
• Tangens (tg lub tan) – stosunek sinusa do cosinusa: \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)
• Cotangens (ctg lub cot) – stosunek cosinusa do sinusa: \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)

Funkcja sinus i jej wykres

Funkcja sinus przypisuje każdemu kątowi \( x \) wartość \( \sin x \). Jej wykres, zwany sinusoidą, jest jedną z najważniejszych krzywych w matematyce.

Właściwości funkcji sinus:

• Dziedzina: zbiór liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \)
• Zbiór wartości: przedział \( [-1, 1] \)
• Okres: \( 2\pi \) (około 6,28)
• Funkcja nieparzysta: \( \sin(-x) = -\sin(x) \)

Wykres funkcji \( y = \sin x \) przedstawia się następująco:

Jak interpretować ten wykres?

• Funkcja sinus przyjmuje wartości od -1 do 1
• Funkcja osiąga maksimum (wartość 1) dla kątów \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), gdzie n to liczba całkowita
• Funkcja osiąga minimum (wartość -1) dla kątów \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \)
• Funkcja przyjmuje wartość 0 dla kątów \( x = \pi n \)

Ważne wartości funkcji sinus:

Funkcja cosinus i jej wykres

Funkcja cosinus przypisuje każdemu kątowi \( x \) wartość \( \cos x \). Jej wykres jest przesunięciem wykresu funkcji sinus o \( \frac{\pi}{2} \) w lewo.

Właściwości funkcji cosinus:

• Dziedzina: zbiór liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \)
• Zbiór wartości: przedział \( [-1, 1] \)
• Okres: \( 2\pi \) (około 6,28)
• Funkcja parzysta: \( \cos(-x) = \cos(x) \)

Wykres funkcji \( y = \cos x \) przedstawia się następująco:

Jak interpretować ten wykres?

• Funkcja cosinus przyjmuje wartości od -1 do 1
• Funkcja osiąga maksimum (wartość 1) dla kątów \( x = 2\pi n \), gdzie n to liczba całkowita
• Funkcja osiąga minimum (wartość -1) dla kątów \( x = \pi + 2\pi n \)
• Funkcja przyjmuje wartość 0 dla kątów \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)

Ważne wartości funkcji cosinus:

Funkcja tangens i jej wykres

Funkcja tangens (tangens) jest zdefiniowana jako stosunek sinusa do cosinusa danego kąta: \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Jej wykres ma charakterystyczne asymptoty pionowe.

Właściwości funkcji tangens:

• Dziedzina: zbiór liczb rzeczywistych bez punktów \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), gdzie n to liczba całkowita
• Zbiór wartości: zbiór liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \)
• Okres: \( \pi \) (około 3,14)
• Funkcja nieparzysta: \( \tan(-x) = -\tan(x) \)

Wykres funkcji \( y = \tan x \) przedstawia się następująco:

Jak interpretować ten wykres?

• Funkcja tangens przyjmuje wartości od \( -\infty \) do \( +\infty \)
• Funkcja ma asymptoty pionowe dla \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), gdzie n to liczba całkowita
• Funkcja przyjmuje wartość 0 dla \( x = \pi n \)
• Funkcja rośnie na każdym przedziale swojej dziedziny

Ważne wartości funkcji tangens:

Funkcja cotangens i jej wykres

Funkcja cotangens (cotangens) jest zdefiniowana jako stosunek cosinusa do sinusa danego kąta: \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \). Jest ona odwrotnością funkcji tangens: \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \).

Właściwości funkcji cotangens:

• Dziedzina: zbiór liczb rzeczywistych bez punktów \( x = \pi n \), gdzie n to liczba całkowita
• Zbiór wartości: zbiór liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \)
• Okres: \( \pi \) (około 3,14)
• Funkcja nieparzysta: \( \cot(-x) = -\cot(x) \)

Wykres funkcji \( y = \cot x \) przedstawia się następująco:

Jak interpretować ten wykres?

• Funkcja cotangens przyjmuje wartości od \( -\infty \) do \( +\infty \)
• Funkcja ma asymptoty pionowe dla \( x = \pi n \), gdzie n to liczba całkowita
• Funkcja przyjmuje wartość 0 dla \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)
• Funkcja maleje na każdym przedziale swojej dziedziny

Przekształcenia wykresów funkcji trygonometrycznych

Wykresy podstawowych funkcji trygonometrycznych można przekształcać, co prowadzi do zmiany ich właściwości. Najczęściej spotykane przekształcenia to:

1. Zmiana amplitudy

Funkcja \( y = A \cdot \sin x \) lub \( y = A \cdot \cos x \), gdzie \( A \) to stała różna od zera, ma amplitudę równą \( |A| \). Oznacza to, że wykres funkcji jest „rozciągnięty” lub „ściśnięty” w kierunku osi Y.

2. Zmiana okresu

Funkcja \( y = \sin(Bx) \) lub \( y = \cos(Bx) \), gdzie \( B \) to stała różna od zera, ma okres równy \( \frac{2\pi}{|B|} \). Oznacza to, że wykres funkcji jest „rozciągnięty” lub „ściśnięty” w kierunku osi X.

3. Przesunięcie w kierunku osi X

Funkcja \( y = \sin(x – C) \) lub \( y = \cos(x – C) \), gdzie \( C \) to stała, jest przesunięciem wykresu funkcji \( y = \sin x \) lub \( y = \cos x \) o \( C \) jednostek w prawo (gdy \( C > 0 \)) lub w lewo (gdy \( C < 0 \)).

4. Przesunięcie w kierunku osi Y

Funkcja \( y = \sin x + D \) lub \( y = \cos x + D \), gdzie \( D \) to stała, jest przesunięciem wykresu funkcji \( y = \sin x \) lub \( y = \cos x \) o \( D \) jednostek w górę (gdy \( D > 0 \)) lub w dół (gdy \( D < 0 \)).

Ogólna postać przekształcenia

Ogólna postać przekształcenia funkcji sinus lub cosinus ma postać:

\[ y = A \cdot \sin(Bx – C) + D \]

\[ y = A \cdot \cos(Bx – C) + D \]

gdzie:

• \( A \) – amplituda (wartość bezwzględna)
• \( B \) – współczynnik wpływający na okres (\( T = \frac{2\pi}{|B|} \))
• \( C \) – przesunięcie fazowe (przesunięcie w kierunku osi X o \( \frac{C}{B} \))
• \( D \) – przesunięcie pionowe (w kierunku osi Y)

Jak szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych?

Aby poprawnie naszkicować wykres funkcji trygonometrycznej, warto postępować według następujących kroków:

Dla funkcji sinus i cosinus:

1. Określ amplitudę funkcji (maksymalną wartość bezwzględną).
2. Oblicz okres funkcji.
3. Zaznacz punkty charakterystyczne: miejsca zerowe, maksima i minima.
4. Połącz punkty płynną krzywą, pamiętając o kształcie sinusoidy.

Dla funkcji tangens i cotangens:

1. Określ okres funkcji.
2. Zaznacz asymptoty pionowe.
3. Zaznacz miejsca zerowe funkcji.
4. Naszkicuj wykres, pamiętając o jego charakterystycznym kształcie.