Wzajemne położenie prostej i okręgu w geometrii analitycznej

Geometria analityczna pozwala nam badać właściwości figur geometrycznych przy użyciu algebry i układu współrzędnych. Jednym z podstawowych zagadnień jest analiza wzajemnego położenia prostej i okręgu. W tym artykule omówimy, jak matematycznie określić, czy prosta przecina okrąg, jest styczna do niego, czy też nie ma z nim punktów wspólnych.

1. Podstawowe definicje

Zacznijmy od przypomnienia, jak zapisujemy równania okręgu i prostej w układzie współrzędnych kartezjańskich.

1.1. Równanie okręgu

Okrąg o środku w punkcie \(S(p, q)\) i promieniu \(r\) ma równanie:

\[(x – p)^2 + (y – q)^2 = r^2\]

W szczególnym przypadku, gdy środek okręgu znajduje się w początku układu współrzędnych \(O(0, 0)\), równanie upraszcza się do:

\[x^2 + y^2 = r^2\]

1.2. Równanie prostej

Prostą w układzie współrzędnych możemy zapisać na kilka sposobów:

• Równanie kierunkowe: \(y = ax + b\), gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy, a \(b\) to wyraz wolny
• Równanie ogólne: \(Ax + By + C = 0\), gdzie \(A\), \(B\) i \(C\) to współczynniki równania prostej

Warto zauważyć, że równanie kierunkowe nie opisuje prostych równoległych do osi \(OY\) (czyli prostych pionowych). Dla takich prostych korzystamy z równania \(x = c\), gdzie \(c\) to odległość prostej od osi \(OY\).

2. Odległość punktu od prostej

Aby określić wzajemne położenie prostej i okręgu, kluczowe jest obliczenie odległości środka okręgu od prostej. Odległość punktu \(P(x_0, y_0)\) od prostej \(Ax + By + C = 0\) wyraża się wzorem:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

Ten wzór będzie nam potrzebny do określenia wzajemnego położenia prostej i okręgu.

3. Wzajemne położenie prostej i okręgu

Rozważmy okrąg o środku \(S(p, q)\) i promieniu \(r\) oraz prostą o równaniu \(Ax + By + C = 0\). Odległość środka okręgu od prostej wynosi:

\[d = \frac{|Ap + Bq + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

Na podstawie porównania wartości \(d\) i \(r\) możemy określić wzajemne położenie prostej i okręgu:

Warunek	Wzajemne położenie	Liczba punktów wspólnych
\(d > r\)	Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych	0
\(d = r\)	Prosta jest styczna do okręgu	1
\(d < r\)	Prosta przecina okrąg (sieczna)	2

Zobrazujmy te trzy przypadki na wykresie:

4. Wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu

Aby znaleźć punkty wspólne prostej i okręgu, musimy rozwiązać układ równań:

\begin{cases}
(x – p)^2 + (y – q)^2 = r^2 \\
Ax + By + C = 0
\end{cases}

Najwygodniej jest wyrazić jedną zmienną przez drugą z równania prostej i podstawić do równania okręgu. Rozważmy to na przykładzie.

Przykład 1: Wyznaczanie punktów wspólnych

Znajdźmy punkty wspólne okręgu \(x^2 + y^2 = 25\) i prostej \(y = 3\).

Rozwiązanie:

Okrąg ma środek w punkcie \(S(0, 0)\) i promień \(r = 5\).

Podstawiamy \(y = 3\) do równania okręgu:

\[x^2 + 3^2 = 25\]

\[x^2 + 9 = 25\]

\[x^2 = 16\]

\[x = \pm 4\]

Otrzymujemy dwa punkty wspólne: \(A(4, 3)\) i \(B(-4, 3)\).

Sprawdźmy odległość prostej \(y = 3\) od środka okręgu \(S(0, 0)\):

Równanie \(y = 3\) możemy zapisać jako \(0x + 1y – 3 = 0\), więc \(A = 0\), \(B = 1\), \(C = -3\).

\[d = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-3)|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{3}{1} = 3\]

Ponieważ \(d = 3 < r = 5\), prosta przecina okrąg w dwóch punktach, co zgadza się z naszymi obliczeniami.

Przykład 2: Prosta styczna do okręgu

Sprawdźmy, czy prosta \(y = 5\) jest styczna do okręgu \(x^2 + y^2 = 25\).

Rozwiązanie:

Odległość prostej \(y = 5\) (czyli \(0x + 1y – 5 = 0\)) od środka okręgu \(S(0, 0)\) wynosi:

\[d = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-5)|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{5}{1} = 5\]

Ponieważ \(d = r = 5\), prosta jest styczna do okręgu.

Znajdźmy punkt styczności. Podstawiając \(y = 5\) do równania okręgu:

\[x^2 + 5^2 = 25\]

\[x^2 + 25 = 25\]

\[x^2 = 0\]

\[x = 0\]

Punkt styczności to \(C(0, 5)\).

5. Równanie stycznej do okręgu

Jeśli znamy punkt \(P(x_0, y_0)\) leżący na okręgu o środku \(S(p, q)\) i promieniu \(r\), to równanie stycznej do okręgu w tym punkcie ma postać:

\[(x – p)(x_0 – p) + (y – q)(y_0 – q) = r^2\]

Dla okręgu o środku w początku układu współrzędnych \((0,0)\) równanie upraszcza się do:

\[xx_0 + yy_0 = r^2\]

Przykład 3: Wyznaczanie równania stycznej

Znajdźmy równanie stycznej do okręgu \(x^2 + y^2 = 25\) w punkcie \(P(3, 4)\).

Rozwiązanie:

Sprawdźmy najpierw, czy punkt \(P(3, 4)\) leży na okręgu:

\[3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\]

Punkt leży na okręgu. Korzystając z wzoru na styczną do okręgu o środku w \(S(0, 0)\):

\[xx_0 + yy_0 = r^2\]

\[3x + 4y = 25\]

To jest równanie stycznej do okręgu w punkcie \(P(3, 4)\).

6. Metoda analityczna wyznaczania wzajemnego położenia

Oprócz metody porównywania odległości środka okręgu od prostej z promieniem, możemy także użyć metody analitycznej. Polega ona na podstawieniu równania prostej do równania okręgu i analizie otrzymanego równania kwadratowego.

Rozważmy okrąg \((x – p)^2 + (y – q)^2 = r^2\) i prostą \(y = ax + b\). Podstawiając równanie prostej do równania okręgu, otrzymujemy:

\[(x – p)^2 + (ax + b – q)^2 = r^2\]

Po rozwinięciu otrzymujemy równanie kwadratowe względem \(x\):

\[(1 + a^2)x^2 + 2(a(b-q) – p)x + (p^2 + (b-q)^2 – r^2) = 0\]

Oznaczmy współczynniki tego równania jako:

\[A = 1 + a^2\]

\[B = 2(a(b-q) – p)\]

\[C = p^2 + (b-q)^2 – r^2\]

Wyróżnik tego równania to \(\Delta = B^2 – 4AC\). Na podstawie wartości wyróżnika możemy określić wzajemne położenie prostej i okręgu:

• Jeśli \(\Delta < 0\), to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, co oznacza, że prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
• Jeśli \(\Delta = 0\), to równanie ma jedno rozwiązanie, co oznacza, że prosta jest styczna do okręgu.
• Jeśli \(\Delta > 0\), to równanie ma dwa rozwiązania, co oznacza, że prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

Przykład 4: Metoda analityczna

Określmy wzajemne położenie okręgu \(x^2 + y^2 = 25\) i prostej \(y = 2x + 1\).

Rozwiązanie:

Podstawiamy równanie prostej do równania okręgu:

\[x^2 + (2x + 1)^2 = 25\]

\[x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 25\]

\[5x^2 + 4x – 24 = 0\]

Mamy więc \(A = 5\), \(B = 4\), \(C = -24\).

Obliczamy wyróżnik:

\[\Delta = B^2 – 4AC = 4^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 16 + 480 = 496\]

Ponieważ \(\Delta > 0\), prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

Możemy obliczyć te punkty, rozwiązując równanie kwadratowe:

\[x = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{-4 \pm \sqrt{496}}{10} = \frac{-4 \pm 22.27}{10}\]

Otrzymujemy \(x_1 \approx 1.83\) i \(x_2 \approx -2.63\).

Podstawiając do równania prostej, otrzymujemy odpowiednie wartości \(y\):

\[y_1 = 2 \cdot 1.83 + 1 \approx 4.66\]

\[y_2 = 2 \cdot (-2.63) + 1 \approx -4.26\]

Punkty przecięcia to w przybliżeniu \(P_1(1.83, 4.66)\) i \(P_2(-2.63, -4.26)\).

7. Zastosowania praktyczne

Analiza wzajemnego położenia prostej i okręgu ma wiele zastosowań praktycznych:

• W fizyce: przy badaniu toru ruchu ciał, odbić, zderzeń
• W grafice komputerowej: przy renderowaniu obiektów, wykrywaniu kolizji
• W robotyce: przy planowaniu ścieżek ruchu robotów
• W architekturze i budownictwie: przy projektowaniu konstrukcji łukowych

8. Podsumowanie

W tym artykule omówiliśmy wzajemne położenie prostej i okręgu w geometrii analitycznej. Poznaliśmy:

• Trzy możliwe przypadki wzajemnego położenia: brak punktów wspólnych, jeden punkt wspólny (styczna), dwa punkty wspólne (sieczna)
• Metodę porównywania odległości środka okręgu od prostej z promieniem okręgu
• Metodę analityczną opartą na analizie wyróżnika równania kwadratowego
• Sposób wyznaczania punktów wspólnych prostej i okręgu
• Równanie stycznej do okręgu w danym punkcie

Zrozumienie tych koncepcji jest kluczowe dla dalszego studiowania geometrii analitycznej i jej zastosowań w różnych dziedzinach nauki i techniki.