Liczby zespolone w matematyce: wzory i zadania

Wprowadzenie do liczb zespolonych

Liczby zespolone stanowią fascynujące rozszerzenie znanych nam liczb rzeczywistych. Pojawiły się w matematyce jako odpowiedź na potrzebę rozwiązywania równań, które w zbiorze liczb rzeczywistych nie mają rozwiązań, takich jak \(x^2 + 1 = 0\). W tym artykule poznamy podstawowe pojęcia związane z liczbami zespolonymi, ich różne reprezentacje oraz nauczymy się wykonywać operacje na nich.

Definicja liczby zespolonej

Liczbę zespoloną \(z\) definiujemy jako parę uporządkowaną liczb rzeczywistych \((a,b)\), którą zazwyczaj zapisujemy w postaci:

\[ z = a + bi \]

gdzie:

\(a\) – część rzeczywista liczby zespolonej, oznaczana jako \(\text{Re}(z)\)
\(b\) – część urojona liczby zespolonej, oznaczana jako \(\text{Im}(z)\)
\(i\) – jednostka urojona, dla której zachodzi \(i^2 = -1\)

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy symbolem \(\mathbb{C}\).

Postaci liczby zespolonej

Liczby zespolone możemy przedstawić na kilka sposobów:

1. Postać algebraiczna (kanoniczna)

Jest to podstawowa forma zapisu, którą już poznaliśmy:

\[ z = a + bi \]

2. Postać trygonometryczna

Każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić jako:

\[ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \]

gdzie:

\(r\) – moduł liczby zespolonej, \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(\theta\) – argument liczby zespolonej (kąt między dodatnią półosią rzeczywistą a wektorem reprezentującym liczbę zespoloną)

Argument liczby zespolonej można obliczyć za pomocą wzoru:

\[ \theta = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan\frac{b}{a}, & \text{gdy } a > 0 \\
\arctan\frac{b}{a} + \pi, & \text{gdy } a < 0, b \geq 0 \\ \arctan\frac{b}{a} - \pi, & \text{gdy } a < 0, b < 0 \\ \frac{\pi}{2}, & \text{gdy } a = 0, b > 0 \\
-\frac{\pi}{2}, & \text{gdy } a = 0, b < 0 \\ \text{nieokreślony}, & \text{gdy } a = 0, b = 0 \end{cases} \]

3. Postać wykładnicza

Wykorzystując tożsamość Eulera \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), możemy zapisać liczbę zespoloną jako:

\[ z = re^{i\theta} \]

Ta postać jest szczególnie przydatna przy mnożeniu, dzieleniu, potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb zespolonych.

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone można interpretować jako punkty na płaszczyźnie zespolonej (zwanej również płaszczyzną Gaussa), gdzie:

Oś pozioma (oś X) reprezentuje część rzeczywistą
Oś pionowa (oś Y) reprezentuje część urojoną

Dzięki temu liczbę zespoloną \(z = a + bi\) możemy przedstawić jako punkt o współrzędnych \((a, b)\) lub jako wektor prowadzący z początku układu współrzędnych do tego punktu.

Podstawowe operacje na liczbach zespolonych

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych wykonujemy, dodając lub odejmując odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone:

\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]

\[ (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \]

Mnożenie

Mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej:

\[ (a + bi) \cdot (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i \]

W postaci trygonometrycznej lub wykładniczej mnożenie staje się znacznie prostsze:

\[ r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \cdot r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)] \]

\[ r_1e^{i\theta_1} \cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \]

Dzielenie

Dzielenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wymaga sprzężenia mianownika:

\[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]

W postaci trygonometrycznej lub wykładniczej:

\[ \frac{r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2)] \]

\[ \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 – \theta_2)} \]

Sprzężenie zespolone

Dla liczby zespolonej \(z = a + bi\) jej sprzężeniem zespolonym jest liczba \(\overline{z} = a – bi\).

Ważne własności sprzężenia:

\(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\)
\(\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\)
\(z \cdot \overline{z} = |z|^2 = a^2 + b^2\)

Moduł liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej \(z = a + bi\) definiujemy jako:

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Geometrycznie jest to odległość punktu \((a, b)\) od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej.

Potęgowanie liczb zespolonych – wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a pozwala na łatwe obliczanie potęg liczb zespolonych:

\[ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \]

lub w postaci wykładniczej:

\[ (re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta} \]

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Aby znaleźć pierwiastek \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(z = re^{i\theta}\), korzystamy ze wzoru:

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\theta + 2\pi k}{n}} \]

gdzie \(k = 0, 1, 2, \ldots, n-1\).

Oznacza to, że pierwiastek \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej ma dokładnie \(n\) różnych wartości, równomiernie rozłożonych na okręgu o promieniu \(\sqrt[n]{r}\).

Równania zespolone

Rozwiązywanie równań w dziedzinie liczb zespolonych często wymaga zastosowania poznanych operacji. Podstawowe równanie kwadratowe \(az^2 + bz + c = 0\) (gdzie \(a, b, c \in \mathbb{C}\), \(a \neq 0\)) rozwiązujemy za pomocą wzoru:

\[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

W przeciwieństwie do równań kwadratowych w dziedzinie liczb rzeczywistych, każde równanie kwadratowe w dziedzinie liczb zespolonych ma dokładnie dwa rozwiązania (licząc z krotnościami).

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1: Obliczanie sumy i iloczynu liczb zespolonych

Treść: Dane są liczby zespolone \(z_1 = 3 + 2i\) oraz \(z_2 = 1 – 4i\). Oblicz \(z_1 + z_2\) oraz \(z_1 \cdot z_2\).

Rozwiązanie:

\[ z_1 + z_2 = (3 + 2i) + (1 – 4i) = (3 + 1) + (2 – 4)i = 4 – 2i \]

\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 2i) \cdot (1 – 4i) = 3 \cdot 1 – 3 \cdot 4i + 2i \cdot 1 – 2i \cdot 4i = \]

\[ = 3 – 12i + 2i – 2i \cdot 4i = 3 – 10i – 2i^2 = 3 – 10i – 2 \cdot (-1) = 3 – 10i + 2 = 5 – 10i \]

Zadanie 2: Dzielenie liczb zespolonych

Treść: Oblicz iloraz \(\frac{2 + 3i}{1 – i}\).

Rozwiązanie:

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika:

\[ \frac{2 + 3i}{1 – i} = \frac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)} = \frac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1^2 – i^2} = \frac{2 + 5i + 3(-1)}{1 – (-1)} = \frac{2 + 5i – 3}{2} = \frac{-1 + 5i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i \]

Zadanie 3: Postać trygonometryczna

Treść: Zapisz liczbę \(z = -1 + i\) w postaci trygonometrycznej.

Rozwiązanie:

Obliczamy moduł liczby \(z\):

\[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

Obliczamy argument liczby \(z\):

Ponieważ \(a = -1 < 0\) i \(b = 1 > 0\), to:

\[ \arg(z) = \arctan\frac{1}{-1} + \pi = \arctan(-1) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \]

Zatem postać trygonometryczna liczby \(z\) to:

\[ z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) \]

Zadanie 4: Potęgowanie liczby zespolonej

Treść: Oblicz \((1 + i)^8\).

Rozwiązanie:

Zapiszmy liczbę \(z = 1 + i\) w postaci trygonometrycznej:

\[ |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

\[ \arg(z) = \arctan\frac{1}{1} = \frac{\pi}{4} \]

\[ z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) \]

Korzystając ze wzoru de Moivre’a:

\[ z^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot \left(\cos\frac{8\pi}{4} + i\sin\frac{8\pi}{4}\right) = 2^4 \cdot (\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 16 \cdot (1 + 0i) = 16 \]

Zadanie 5: Pierwiastkowanie liczby zespolonej

Treść: Znajdź wszystkie pierwiastki 3-go stopnia z liczby \(z = 8i\).

Rozwiązanie:

Zapiszmy liczbę \(z = 8i\) w postaci trygonometrycznej:

\[ |z| = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8 \]

\[ \arg(z) = \frac{\pi}{2} \]

\[ z = 8\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) \]

Korzystając ze wzoru na pierwiastek \(n\)-tego stopnia:

\[ \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{8} \cdot e^{i\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}} = 2 \cdot e^{i\frac{\pi + 4\pi k}{6}} \]

dla \(k = 0, 1, 2\).

Dla \(k = 0\):

\[ w_0 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}} = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}i = \sqrt{3} + i \]

Dla \(k = 1\):

\[ w_1 = 2 \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}} = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2 \cdot \frac{1}{2}i = -\sqrt{3} + i \]

Dla \(k = 2\):

\[ w_2 = 2 \cdot e^{i\frac{9\pi}{6}} = 2 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}} = 2\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right) = 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1)i = -2i \]

Zatem pierwiastki 3-go stopnia z liczby \(8i\) to: \(\sqrt{3} + i\), \(-\sqrt{3} + i\) oraz \(-2i\).